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微分方程中的小波方法

自本世纪30年代以来,在物理、工程、化学、生物、经济等众多领域中产生的大量数学模型可以用带有极限环的平面自治系统来描述,极限环的问题已变得愈来愈重要,并引起了许多理论数学和应用数学工作者的注意。工程中的许多问题常常可归结于常微分方程的求解,由于自动控制理论的众多问题需要用微分方程来描述,这为小波方法的使用提供了可能,小波分析及其应用的日益活跃也引起了建筑工程及抗震设计等方面工程技术人员的关注,传统的各种分析与计算方法在具有其各自优点的同时,难免有其各自的缺点。本文对小波变换及小波理论进行研究的基础上,着重研究小波在微分方程中应用的一些基本问题和基本方法,主要提出并解决了如下的问题:1.提出了微分方程解的小波逼近的理论框架。对一类有紧支撑的正交小波的正则度进行了分析,同时对这类小波及相关尺度函数的正则性指数做出估计,提出了一种新的估计方法,得出了一个优于I.Daubechies的估计。在区间样条小波插值的最佳逼近性的基础上,对其误  (本文共92页) 本文目录 | 阅读全文>>

武汉理工大学
武汉理工大学

小波在偏微分方程数值解中的应用

小波分析(wavelet Analysis)是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域,是继Fourier分析之后的一个突破性进展,它给许多相关领域带来了崭新的思想,提供了强有力的工具,在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。作为80年代末期出现的时频分析工具,小波变换在很多领域已经得到了成功的应用。随着小波分析的发展,小波的应用越来越广泛,愈来愈凸显出其“数学显微镜”的作用,尤其是在偏微分方程数值解里的应用最近得到人们很大的关注。本文首先介绍了小波分析的发展及其理论中的经典问题多尺度分析和Mallat算法,其中包括了小波的定义,几类小波变换。此外,还介绍了二维小波变换的一些相关理论、紧支集小波、Daubechies小波,为后面使用它奠定了理论基础。其次总结了微分算子的小波表示的相关结论,通过对偏微分方程中的微分算子进行小波表示来对其进行数值求解。本文给出了一种比较好的算子的小波表示——算子的非标准型,并对微分方程中常见算子给出了小...  (本文共47页) 本文目录 | 阅读全文>>

燕山大学
燕山大学

小波分析在求解奇异积分与分数阶微分方程中的应用

小波是一种满足特定性质的函数,它的优势在本质上源于它兼具光滑性与局部紧支撑性,从而比传统的Fourier分析具有更为细致的视频分析能力,能更好的处理局部存在奇异性的问题。非线性分数阶微分方程的求解及其解法的研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题,具有很大的挑战性。首先,论文介绍了小波分析的历史与发展现状以及分数阶计算的发展历史、现状和目前所做的一些工作。接下来介绍了有关分数阶计算的一些预备知识和小波的定义与性质。其次,论文应用小波来处理积分中的奇异点,利用Haar小波的算子矩阵给出了一种求解定积分和奇异积分近似值的方法,并通过作图给出了在积分过程中,各个小区间内近似值与精确值的对比,且通过数值算例验证了方法的可行性。然后,论文应用小波来求解非线性分数阶微分方程,利用Haar小波基的正交性、紧支性以及快速衰减性的特点,将方程由原来的坐标系转化到小波系下求解,用几个恰当的小波基函数将其表示为较简单的稀疏形式,使得算子计算中稠密...  (本文共65页) 本文目录 | 阅读全文>>

兰州大学
兰州大学

高精度小波数值方法及其在结构非线性分析中的应用

小波数值方法是近二十多年来发展起来的一类新兴数值方法。随着其自身的发展,小波数值方法的应用范围越来越广泛。而发展统一求解弱非线性和强非线性问题的小波方法这一重要课题也越来越受到重视。立足于小波封闭解法的基础之上,本文拓展了小波方法在具有非线性、奇异性及微分积分算子共存的复杂力学问题中的应用。另外,通过改进小波逼近方式和提出新的求解思路,本文针对一般非线性初值问题和边值问题分别提出了新的高精度小波算法。本文首先介绍了紧支正交的Coiflet小波函数基及其具有拟插值特性的小波逼近公式,它们是小波封闭解法的理论基础。接着介绍了构造有限区间上平方可积函数Coiflet小波逼近公式的边界延拓技术,它是小波数值方法的应用基础。数值研究表明消失矩数目为6的Coiflet是现有小波方法较好的基函数选择。在这些基础之上,本文通过将非线性项中的导数定义为新函数,拓展了现有小波方法在一维和二维拟线性微分方程中的应用,以及结合分部积分和函数变换等技术和...  (本文共145页) 本文目录 | 阅读全文>>

西安理工大学
西安理工大学

偏微分方程的小波-Galerkin法研究

偏微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科,从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用。传统的偏微分方程的数值解法有很多,如有限元法、有限差分法等。虽然上述方法在求解偏微分方程的数值解中取得了显著的成效,但对于含小参数奇异摄动方程,上述方法就显得力不从心了。伴随着具有“数学显微镜”功能的小波的诞生,偏微分方程的数值解法得到了迅猛发展。本文对偏微分方程的小波-Galerkin法进行了研究,主要完成了以下的工作:(1)介绍了小波基本理论、Daubechies尺度函数的自相关函数及其生成的多分辨分析,对自相关函数的一些性质和结论进行了阐述;介绍了小波Galerkin法,阐述了该方法求解微分方程的优越性。(2)选取Daubechies尺度函数的自相关函数为基函数,运用小波-Galerkin法求解了非线性偏微分方程。借助Daubechies尺度函数的自相关函数的插值特性,使所求结果恰好是函数在二分点上的函数值,避...  (本文共50页) 本文目录 | 阅读全文>>

西安建筑科技大学
西安建筑科技大学

弹性力学中微分方程的小波解法

随着计算机技术的发展和完善以及实际应用的需要,科学和工程中的所有计算问题与计算机已经密不可分.弹性力学中的微分方程,由于其阶数较高,而且很多方程还无法找到其精确解,所以关于此类方程的数值解在工程中就显得尤为重要.小波分析作为数值分析的一种强有力的工具是二十世纪七十年代发展起来的一门新兴的数学学科,现在已广泛地应用到求解微分方程和积分方程中.本文对弹性力学中的微分方程的小波方法进行研究,得到了一系列结果.全文共分三章,每章的主要内容如下:第一章简述本文所用小波分析的一些基础知识以及弹性力学的基本理论,对目前小波分析在微分方程中的应用现状进行探讨,提出应用正交小波基对微分方程进行求解的可行性.第二章研究求解弹性地基梁的小波方法,主要分为四个部分进行说明:Winkler地基上梁的微分控制方程;线性Legendre多小波的定义及其性质和积分矩阵;用线性Legendre多小波求解Winkler地基上梁的方程;数值举例.第三章研究求解弹性地...  (本文共59页) 本文目录 | 阅读全文>>