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求解Hamilton矩阵特征问题的一个QR型算法及关于辛Lanczos算法的误差分析

在许多科学与工程计算中经常必须数值求解矩阵的特征问题。本文重点讨论研究有关Hamilton矩阵的特征问题,该问题对代数Riccati方程的求解、线性二次最优控制问题的求解、求矩阵的实的和复的稳定半径、计算传输矩阵的H。范数、在计算化学的线性相应理论中,计算Hamilton矩阵按模最大的部分特征值及相应的特征向量具有重要实际意义。寻找一个稳定的有效的保结构的求解Hamilton特征问题的算法以及如何稳定有效地求解大规模Hamilton矩阵特征问题的辛Lanczos算法一直是数值界迫切需要研究的课题,课题的研究涉及到数值分析,矩阵计算,抽象代数,控制论等重要学科。本文正是在这一指导思想下,进行了以下四方面的研究:1.研究了特殊辛Householder矩阵和特殊辛Givens矩阵在有效的、数值上稳定的、保结构的计算实代数Riccati方程所对应的Hami~on矩阵的稳定的不变子空间的QR型算法中的消除失稳作用,给出了特殊辛Househ  (本文共104页) 本文目录 | 阅读全文>>

《数学研究与评论》2004年01期
数学研究与评论

求解大规模Hamilton矩阵特征问题的辛Lanczos算法的误差分析

1引言 1950年,Lanczo,提出的Lanczos算法山」是一个逐渐把一个一般矩阵A〔r‘,化为一个三对角矩阵T的过程.在Lanczos过程执行第j步后,Lanczos算法产生了两个n xj阶矩阵Q,,p,.Q,=[。;,。2,…,。,],p,=[户;,户:,…,户,]满足p歹Q,=I,且AQ,=Q,T,+几+,、,+le歹,A丁p,=p,叮+yj+,户,+1可·(1)艺Jai…几 fa!)2这’‘’一〔O’”’‘”’‘」矛任R”兀’三对角‘阵,孔一『足! 小矩阵兀的某些特征值随j的增大可以是矩阵A的某些特征值的好的近似.在整个的迭代过程中,只用到了矩阵和向量的积Ax和ATx,因此此算法特别适合求大型稀疏矩阵的部分特征值.从1960年至今出现了大量的研究Lanczos算法的文章,如【1,11,17]. 最近二三十年,出现了一些研究保结构的计算Hamilton矩阵特征值的文章[s,‘,’〕.对于大型稀疏Hamilton矩阵特征...  (本文共16页) 阅读全文>>

《科学技术与工程》2009年21期
科学技术与工程

初等变换与矩阵的QR分解的关系

在矩阵计算中,矩阵的QR分解是矩阵基本分解方法之一,通常是用Householder变换或G ivens变换或Gram-Schm idet正交化方法来实现的。邹红星、王殿军、戴琼海、李衍达[1],等研究了行(或列)对称矩阵的QR分解与母矩阵的QR分解形式之间的定量关系及快速算法。现将考虑对一个矩阵A(称为母矩阵)施行第一类初等行变换和第二类初等列变换后,其相应的QR分解形式的变化规律,并给出了利用第三类初等变换进行矩阵QR分解的新方法。1矩阵的QR分解定理1实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R的乘积,即A=QR(1)称式(1)为A的QR分解。证记矩阵A的n个列向量依次为a1,a2,…,an,因为A非奇异,所以这n个列向量线性无关,将它们按Schm idt正交化方法正交化之,可得到n个标准正交向量q1,q2,…,qn。对a1,a2,…,an正交化可得b1=a1b2=a2-k21b1┇bn=an-kn,n-1bn-1...  (本文共3页) 阅读全文>>

《九江学院学报》2009年06期
九江学院学报

广义延拓矩阵的QR分解

QR分解是数值线性代数的基本分解方法之一,不仅在实际中有广泛的应用,而且在理论研究上也很有意义[1~4].文献[5~9]针对工程应用领域中大量出现的对称图像,给出了延拓矩阵(行(或列)对称矩阵)的概念,并且讨论了延拓矩阵的奇异值和奇异向量与原矩阵(母矩阵)的奇异值和奇异向量存在定量关系以及QR分解中的Q矩阵、R矩阵与母矩阵的Q矩阵、R矩阵之间的定量关系。本文提出了广义延拓矩阵的概念,从而拓宽了文献[5~9]的理论应用范围.1广义延拓矩阵的概念定义1(广义行延拓矩阵)令A∈Cm×n,酉矩阵U1,U2,…,Uk-1∈Cm×m,k为任意给定的正整数.定义广义行延拓矩阵R(A;U1,U2,…,Uk-1)为R(A;U1,U2,…,Uk-1)=AU1AU2A…Uk-1A∈Ckm×n.A称为R(A;U1,U2,…,Uk-1)的母矩阵.定义2(广义列延拓矩阵)令A∈Cm×n,酉矩阵U1,U2,…,Uk-1∈Cn×n,k为任意给定的正整数.定义广...  (本文共4页) 阅读全文>>

《数值计算与计算机应用》2005年04期
数值计算与计算机应用

Hamilton矩阵反问题的最小二乘解

盯.引言 我们先介绍本文的一些记号.CZmx“m表示复的Zm阶矩阵,N(A),R(A)分别表示矩 阵A的零空间和列空间,。阶酉矩阵集合与Hermitian矩阵集合分别用UC几xn,HEC几瀚 表示.X十,X*分别表示矩阵X的Moore一Pe盯ose广义逆和共扼转置.VA,B任C饥x几 矩阵A,B的内积定义为(A,B)=行ac。(B*A),由此导出的矩阵范数为FrobeniuS范数, 记为}卜}}F.记A=(a动,B=(b动任Cmx“,A*B表示矩阵Hadamard乘积,某定义为 A*刀=(a‘,b‘、)· 286 数值计算与计算机应用 2005年 瓜一( O 一瓜 编、 U/ 瓜指。阶单位阵.当瓜的维数上下文能推断时,我们把它简记为J.若丫A〔CZm“Zm, 有(A刃’=(A刃,则称A为Hamilton矩阵,它的集合用HACZmx“m表示.若(A刃*二 一(A刃.则称A为反Hamllton矩阵,它的集合用SHACZm又2爪表示....  (本文共6页) 阅读全文>>

《内江师范学院学报》2007年04期
内江师范学院学报

矩阵QR分解途径的研究

将矩阵A分解为一个正交矩阵Q(或列正交矩阵Q)和一个上三角矩阵R的乘积,称为矩阵A的正交三角分解,简称QR分解.下面给出4种求矩阵QR分解的方法,以加强对QR分解思想及方法的深刻理解.1利用H ouseho lder矩阵变换[1]将矩阵A的列向量依次实施Househo lder矩阵变换,简记H,使之化为以具有1个非零元,2个非零元,…,n个非零元作为列向量的上三角矩阵R.即若有Hn-1…H2H1A=R,则Q=H1H2…Hn-1.1.1若A为n×1矩阵取A为X=(x1,x2,…,xn)T,n×1阶矩阵,Y=(x1,x2,…,xr-1,-,σ0,…,0)T∈Rn,其中nσ=S ign(xr)(∑i=rxi2)12,(当时xr=0,规定S ign(0)=1).若考虑r=1,Y有一个非零元,令nσ=S ign(x1)(∑i=1xi2)12,则U=X-Y=(x1+,σx2,…,xn)T=(u1,u2,…,un)T,则‖U‖22=‖X-Y‖...  (本文共3页) 阅读全文>>