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微分方程精确解及李对称符号计算研究

以物理学中的问题为背景的非线性微分方程的研究是当代非线性科学的一个重要方面。创造和发展非线性微分方程新的求解方法是非线性物理最前沿的研究课题之一。目前,已经存在许多的获得非线性微分方程的精确解的方法。本文对一些求解方法进行了研究,特别是Lie对称方法,分析并改进了前人的理论和算法,并在计算机符号系统Maple上给出了相应的实现。这些理论、算法、实现对非线性微分方程的精确解构造是十分有益的。我们对已有的求解方法,如双曲正切法、Jacobi椭圆函数展开法、假设法等进行了改进和推广,并利用改进后的方法结合我国著名数学家吴文俊的数学机械化思想,针对一些微分方程获得了一些新的精确解。这些解的发现将有助于弄清物质在非线性作用下的运动规律,对相应物理现象的科学解释起到重要作用。但是上述方法比较分散、不系统。众所周知,Lie群方法将求解特定类型的微分方程的分散的积分方法统一到共同的概念之下。实际上,Lie无穷小变换方法为寻找常微分方程的闭合形式  (本文共116页) 本文目录 | 阅读全文>>

大连理工大学
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计算微分方程对称与精确解的机械化算法及实现

本文研究微分方程,特别是在流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程的(古典、非古典)对称与精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、类多孤波解、有理解)的机械化计算,给出了相应的算法及其程序实现。第二章在张鸿庆教授提出的C-D对理论框架下考虑微分方程(组)精确解的构造。介绍了C-D对理论的基本内容和思想,总结了构造C-D对的方法,同时结合Ore多项式理论考虑了线性常微分方程(组)的约化、求解问题,从理论上证明了线性常微分方程组C-D对的存在性。给出了计算C-D对的机械化算法,并利用符号计算系统Mathematica实现了该算法。第三章提出计算非线性发展方程精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、多孤波解、类多孤波解和有理解)的一个机械化算法—变系数广义Tanh函数方法。在Maple平台上实现了该算法。以(3+1)-维Jumbo-Miwa方程、多维耦合Burgers方程、Bo...  (本文共122页) 本文目录 | 阅读全文>>

大连理工大学
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非线性方程精确解和一类空间的凸性与光滑性

本文主要作了以下三方面的研究:首先,借助于符号计算和吴方法,研究了非线性微分-差分方程的精确解,提出了双曲函数有理展开法和有理形式的展开法,并推广了非线性发展方程的椭圆函数有理展开法。其次,在Hirota双线性算子推广到超对称的情形下,给出了许多重要的超对称双线性恒等式,并应用它们求得了B(?)cklund变换和孤波解。最后,为了今后在更广泛的空间中研究非线性问题,我们讨论了局部凸空间中凸性与光滑性之间的关系。第一章主要介绍了本文所涉及到的学科(包括孤立子理论、数学机械化、局部凸空间的凸性与光滑性等)的起源及发展过程,以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的一些成果。最后介绍了本文的主要工作。第二章主要阐述了求解非线性发展方程的AC=BD模式及其应用。首先给出了c-D对和c-D可积系统的基本理论以及构造c-D对的方法.然后把AC=BD理论应用于微分-差分方程和微分方程的双线性形式,这样就给AC=BD理论增加了新的更丰富的内...  (本文共124页) 本文目录 | 阅读全文>>

大连理工大学
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微分方程组精确解及其解的规模的机械化算法

本文研究数学物理机械化方面的若干问题。主要研究微分方程(组),特别是在力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微分方程(组)的对角化和求解的机械化算法,包括偏微分方程(组)的精确求解算法,对合检验算法及其表征形式解空间大小的维效向量的算法,并予以程序实现。第一章介绍本文涉及的学科主要是数学物理机械化的多方面的发展,围绕微分方程与计算机代数的关系,简述了关于数学物理机械化方面国内外研究和发展的概况,最后介绍了本文的主要工作。第二章在C-D对理论框架下考虑微分方程(组)精确解的构造。介绍了C-D对理论的基本内容和思想,总结了构造C-D对的方法;基于AC=BD的思想,利用微分伪带余除法,提出一个相对统一的构造非线性发展方程精确解的机械化模式,该模式可以囊括现有的许多求精确解的方法(tanh方法,扩展tanh方法,Riccati方法,投影Riccati方法,扩展Riccati方法等“辅助方程方法”...  (本文共130页) 本文目录 | 阅读全文>>

湖南大学
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非线性偏微分方程的解法研究

非线性动力学是非线性科学的一个重要分支,而非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究又是非线性动力学的一个主要内容。非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题,极具挑战性。目前虽然已经提出和发展了许多求非线性偏微分方程精确解的方法,但由于求解非线性偏微分方程没有也不可能有统一而普适的方法,因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在全面归纳和总结现有各种求解非线性偏微分方程的主要方法的基础上,对非线性偏微分方程的解法进行了较为系统和深入的研究,提出了几种求非线性偏微分方程精确解的新方法,并用这些新方法求解了许多物理和力学中非常重要的非线性偏微分方程,不但获得了已有的结果,而且得到了许多新的结果,丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究的内容。本文的工作具有较大的理论意义和应用价值。全文共分六章。第一章为绪论,简要地回顾了非线性偏微分方程提出的历史背景,全面归纳和总结了国内外...  (本文共143页) 本文目录 | 阅读全文>>

大连理工大学
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非线性微分方程精确解及振动性

本文主要作了以下二方面的研究:首先,借助于符号计算和吴方法研究了非线性发展方程的精确解(定量),提出和改进了一些求解非线性发展方程的方法,并在符号计算系统Maple上予以机械化实现。其次,利用Riccati变换和积分平均技巧研究了几类非线性微分方程的振动性(定性)。第一章主要介绍了本文所涉及到的学科(包括孤立子理论、数学机械化、微分方程的振动性等)的起源及发展过程,以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的一些成果。最后介绍了本文的主要工作。第二章介绍了求解非线性发展方程的AC=BD模式,给出了C-D对和C-D可积系统的基本理论以及构造C-D对的方法,并通过实例说明了这一模式的使用方式。第三章基于非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导思想,以吴方法和符号计算为工具,首先提出一种新的广义tanh函数方法,并将其应用于(2+1)-维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确解构造。其次,利用Q-变形双曲函数,...  (本文共136页) 本文目录 | 阅读全文>>