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凸体及星体的不等式与极值问题

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本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况,本博士论文以研究一般凸体、星体以及单形和超平行体等特殊类凸体的度量不等式和极值问题为主要内容,研究工作分为两个方面。一方面是利用几何分析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究一般凸体和星体的度量不等式和极值问题,由第二章和第三章构成。由于Petty-Schneider问题是凸体几何中一个热点问题,第二章首先推广Petty-Schneider问题到一般的均质积分情形;Ball在研究Petty-Schneider问题时讨论了球和立方体的截面性质,受Ball思想的启发,我们给出了球的截面的两个新的度量不等式;关于凸体的Brunn-Minkowski不等式是凸体理论的精髓,混合投影体的Brunn-Minkowski不等式也由Lutwak所证明,我们则证明了投影体的极体的Brunn-Minkowski型不等式。星体的对偶Brunn-Minkowski理论是上世纪70年代产生的新兴研  (本文共101页) 本文目录 | 阅读全文>>

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几何分析中的极值问题与稳定性研究

本博士论文首先简述了其所属学科的发展历程和研究现状,主要的代表人物以及我国数学家的工作;接着重点研究了几何分析中关于凸体的两个著名问题:Schneider投影问题和关于迷向体的Bourgain问题;然后探讨了混合投影体极体的极值性质和Pythagroras型不等式在John基上的情形;最后考察了多个凸体或星体间的“相似”度量问题与一个单形的“偏正”度量问题,并获得了几个经典几何不等式的稳定性定理。作者取得的主要创新成果是:(1) 对Schneider投影问题取得了实质性突破。为了研究著名的Schneider投影问题,2001年,E.Lutwak,D.Yang和张高勇在R~n中引进了关于多胞形一个新的仿射不变量,从而把对Schneider投影问题的研究转化为这个新的仿射不变量的研究。而对于一个原点对称的多胞形,他们提出了一个关于这个新的仿射不变量的猜想(公开问题)。作者对此公开问题在n=2,3时分别用几何方法和重排技巧给出了严格的...  (本文共95页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸体几何极值问题

本文利用几何分析中的凸体几何理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体的等周问题和相关的不等式问题。首先,从以下几个方面作了重点研究:凸体的宽度积分和仿射表面积,凸体几何经典不等式的等价性,投影体和交体的各种极值性质,星体的对偶均值积分的极值问题,混合投影体的极体性质,投影体和交体的对偶均值积分差的极值问题以及混合投影体与混合交体神秘的对偶性质等。其次,重点研究解析不等式,像离散型和连续型Pachpatte不等式,Hilbert积分不等式,H(?)lder积分不等式,Bellman不等式,Minkowski积分不等式等并应用这些分析不等式建立了凸体几何中经典的Minkowski不等式,Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式的极形式和对偶形式。这些内容作为几何分析一个十分活跃的前沿方向,广泛应用于数量经济学,随机几何学,体视学和信息理论等领域。本文获得的主要结果:(1) 建立了混合投...  (本文共150页) 本文目录 | 阅读全文>>

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L_p-空间中凸体几何的极值问题

本文隶属于L_p-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)领域,该领域是近10年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支。本文主要利用L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究L_p-空间中凸体几何的理论、几何体的度量不等式和极值问题。一方面,我们对L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论进行了研究。另一方面,我们研究了L_p-Brunn-Minkowski理论领域诸多几何体:L_p-投影体、L_p-质心体、新几何体Γ__pK、L_p-John椭球、L_p-曲率映象以及由我们新引入的L_p-混合投影体的体积、均质积分、仿射表面积构成的度量不等式和极值问题。在L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论研究方面,我们首次提出了L_p-混合均质积分的对偶概念-L_p-对偶混合均质积分,这个概念也将L_p-对偶混合体积和对偶均质...  (本文共157页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸体的Brunn-Minkowski理论

本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本学位论文利用几何分析中的凸体理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体和星体的等周问题和相关的不等式问题.本文的研究工作主要分为三个方面:在经典Brunn-Minkowski理论中,我们推广了矩阵形式的Brunn-Minkowski不等式.作为应用,我们推广了Alexander度量加不等式.在对偶Brunn-Minkowski理论中,我们引入了对偶调和均质积分概念,系统的研究了它的性质,并建立对偶调和均质积分的Brunn-Minkowski不等式,Blaschke-Santalo型不等式和Bieberbach不等式;接着我们建立了对偶仿射均质积分的对偶Brunn-Minkowski不等式,最近我们得知这个不等式被Gardner用另外的方式证明;凸体的极体是凸几何中一个重要概念,既然相交体和投影体有对偶关系,因此在...  (本文共118页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸体的极值问题

本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况.本文主要利用Brunn-Minkowski理论及L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究了凸体几何的极值问题.在Brunn-Minkowski理论领域关于极值问题研究方面:我们讨论了i∈R时凸体i—次宽度积分与对偶均质积分之间的关系,以及它的一些性质.推广和完善了E.Lutwak建立的当0≤i≤n时凸体i—次宽度积分的性质及其与均质积分之间的关系.我们获得了凸体i—次宽度积分的Blaschke-Santalo不等式,并建立了凸体i—次宽度积分Aleksandrov-Fenchel不等式的局部形式.我们建立了混合仿射表面积之间及其与混合投影体,质心体混合体积之间的不等式,并建立了Petty仿射投影不等式的广义形式和Buse...  (本文共88页) 本文目录 | 阅读全文>>