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数学物理中反问题与边值问题的积分方程方法

本文主要围绕数学物理中的若干类反问题与边值问题进行研究,包括Hausdorff矩问题、弹性接触反问题、热传导方程反问题、Laplace方程Cauchy问题和二阶椭圆型方程组非线形边值问题等。随着科学技术的纵深发展和社会与经济的全面进步,越来越多的问题可归结为上述问题,如地质勘察、无损探伤、CT技术、军事侦察、环境治理、遥感遥测、信号处理、控制论、经济学等。本文创造性地应用积分方程方法,借助现代数学手段,着重研究这些问题的可解性条件、条件适定性(特别是条件稳定性),构造稳定化算法,并进行数值模拟。论文的主要成果包括:利用积分方程方法讨论通过有限个矩量求解Hausdorff矩问题,我们先将矩问题化为第一类Fredholm积分方程,分析该问题的不适定性。由于问题的不适定性,求解变得非常困难。为克服困难,我们先讨论矩问题的条件稳定性(包括整体估计和局部估计),创造性地获得了对数型稳定性结果。并且基于稳定性,结合Tikhonov正则化方法  (本文共171页) 本文目录 | 阅读全文>>

山西大学
山西大学

若干非线性算子的讨论及其在微分方程边值问题中的应用

在本文中,我们主要讨论两类非线性方面的内容,其一为Banach空间中的非线性算子方程,其二为非线性算子理论在微分方程边值问题中的应用。所使用的方法为半序方法及迭代技巧等。全文共分为三章。在第一章(概论)中,我们对几类非线性算子(α(1)-齐次算子,一类可迭代求不动点的算子,集值算子)的研究现状及我们在本文中将要做的工作进行了阐述;同时系统的介绍了用非线性知识处理微分方程边值问题的总体思路。第二章,我们给出了几类非线性算子的不动点定理。在§2.1中,我们在较弱的条件下给出了α(1)-齐次算子具有唯一不动点的充分条件以及齐次算子的介值性定理,这类结论和方法在可查文献中尚不多见;在§2.2中,我们给出了一类可迭代求不动点的算子的不动点存在性定理,并应用到一类积分方程之中;在§2.3中,我们给出了集值映射的不动点定理,得到了类似于α-凹算子的不动点存在的充分必要条件,并应用于α-凸算子的不动点存在性的证明之中。这种用集值映射来讨论α-凸...  (本文共99页) 本文目录 | 阅读全文>>

湖南大学
湖南大学

离散Hamilton系统周期解与边值问题

本篇博士论文主要研究离散Hamilton系统或二阶非线性差分方程的周期解、多重周期解与边值问题。全文共分四章。第一章简述问题的产生和研究的意义,对离散Hamilton系统或二阶非线性差分方程的周期解和边值问题的研究现状进行了简单的回顾,然后,对本文的主要工作做了粗略的介绍。第二章讨论了一类具有变分结构的一般形式的二阶差分方程的周期解与次调和解的存在性和多重性。首先给出了该方程的变分结构,将该差分方程周期解的存在性转化为相应泛函的临界点的存在性;然后,应用临界点理论中的环绕定理和鞍点定理,得到了该方程存在周期解和次调和解的一些新结论。第三章讨论了几类特殊的非线性差分方程周期解的存在性和多重性。利用山路引理和鞍点定理,获得了周期解存在的若干充分条件。特别地,通过代数方法,得到了一个非线性二阶差分方程存在周期解的一个充要条件。第四章讨论了一类二阶半线性差分方程的边值问题。首先利用Riccati技巧,研究了一类差分方程的非共轭性和非焦性...  (本文共111页) 本文目录 | 阅读全文>>

上海大学
上海大学

一阶椭圆型方程组边值问题的理论和数值计算

本文主要研究一阶椭圆型方程组的非线性Riemann边值问题和Riemann-Hilbert边值问题,并利用边界元方法讨论广义解析函数(一阶椭圆型方程组的一种特殊形式)的Riemann-Hilbert边值问题。对于一阶椭圆型方程组的Riemann边值问题,是通过把它们转化为与原问题等价的奇异积分方程,利用广义解析函数理论、奇异积分方程理论、压缩原理或广义压缩原理,证明在某些假设条件下所讨论问题的解的存在性;对于一阶椭圆型方程组的Riemann-Hilbert边值问题,利用广义解析函数理论、Cauchy积分公式、函数论方法和不动点原理,证明在某些假设条件下所讨论问题的可解性;广义解析函数的Riemann-Hilbert边值问题的边界元方法是利用广义解析函数的广义Cauchy积分公式,引入Cauchy主值积分,通过对区域边界的离散化,得到边界积分方程,再利用边界条件得到问题的解。本文的难点是方程的非线性或边界条件的非线性,在证明奇异积...  (本文共102页) 本文目录 | 阅读全文>>

中国工程物理研究院
中国工程物理研究院

二阶Hamilton系统与椭圆共振边值问题

本文综合运用变分方法,临界点理论和隐函数理论等多种非线性分析方法研究了二阶Hamilton系统的周期解和椭圆共振边值问题,获得了一系列新的可解性条件和多重性结果。可解性条件包括次可加条件;次凸条件;局部强制条件;一类新的Landesman-Lazer型条件和次线性条件。主要结果包括如下所述。首先考虑二阶Hamilton系统其中,T0,F:[0,T]×R~N→R满足条件(A) F(t,x)对每个x∈R~N关于t是可测的,对a.e.t∈[0,T]关于x是连续可微的,且存在a∈C(R~+, R~+),b∈L~1(0, T; R~+)使得|F(t, x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t, x)|≤a(|x|)b(t)对所有x∈R~N和a.e.t∈[0,T]成立。设a∈[0,1),当▽F是α-次线性的,即,存在f,g∈L~1(0, T, R~+)使得|▽F(t, x)|≤f(t)|x|~α+g(t)对所有x∈R~N及a.e.t∈[0,...  (本文共92页) 本文目录 | 阅读全文>>

山东大学
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BANACH空间中积分—微分方程边值问题的解

随着科技的发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题,这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视。而非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理论工具。目前非线性泛函分析已成为现代数学中重要的一个分支,主要包括拓扑度理论、临界点理论和半序方法等。1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J-.schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,H.Amann[1],M.A.Krasnose'skii[2],K.Deimling[3],L.Nirenberg[4]等对拓扑度理论,锥理论及其应用做出了杰出的工作。国内张恭庆教授[5]、陈文(山原)教授[6]、郭大钧教授[7]等众多学者在非线性泛函分析的各个领域进行了深入的研究[8-11,18-21]。令E为一实Banach空间。考虑下面Cauchy问...  (本文共84页) 本文目录 | 阅读全文>>