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二阶拟线性退化抛物方程的Cauchy问题和黎曼流形平行性的研究

本文分两部分,第一部分是对如下形式的拟线性退化抛物方程Cauchy问题讨论了解的存在唯一性;第二部分是讨论了黎曼流形中的一些几何问题,主要是将欧氏空间平行射线的概念推广到一般黎曼流形,并研究其所具有的性质。上述拟线性退化抛物方程来源于物理、力学、生物和金融等许多领域,研究该方程解的存在性、唯一性和稳定性及其他性质具有广泛的意义。当a~(ij)≡0,i,j=1,2,…,n时该方程退化为守恒律型方程,因此一般没有古典解。当空间变量是一维时,人们对该退化抛物方程的Cauchy问题和第一边值问题解的存在唯一性已经进行了深入的研究。对于多个空间变量的情况,解的存在性研究也已得到了深入的结果,但对于解的唯一性,人们只是在一些特殊情况下证明了的Cauchy问题和第一边值问题解的唯一性。特别是对于强退化抛物方程,至今还没有令人满意的结果。基于已有的研究基础上,本文对上述方程提出了一个新的弱解概念,该概念隐含了原来所定义的弱解所丢弃的一些有用的信  (本文共77页) 本文目录 | 阅读全文>>

西安电子科技大学
西安电子科技大学

黎曼流形的曲率、拓扑与M(?)bius特性研究

黎曼几何诞生于德国数学家B.Riemann的著名的就职演说“论作为几何学基础的假设”,后经许多著名数学家的进一步完善和推广,成为一门重要的数学理论。A.Einstein把引力现象解释成黎曼空间的曲率性质,使得物理现象变成几何现象,从而使黎曼几何在广义相对论和理论物理中得到了广泛的应用。黎曼几何的研究从局部发展到整体,产生了许多深刻的并在其它数学分支,如代数拓扑、偏微分方程、多复变函数论等以及现代物理学中有重要作用的结果。黎曼流形是黎曼几何的主要研究对象,黎曼流形的曲率与拓扑以及M(?)bius特性主要研究黎曼流形的曲率和解析结构以及这种曲率和解析结构所蕴含的几何与拓扑现象,研究黎曼流形在共形群下的不变量以及利用这些不变量所刻画的几何与拓扑性质。本文主要研究了单位球面中子流形的曲率、拓扑性质和M(?)bius特征以及Willmore子流形、类空子流形和局部对称黎曼流形中超曲面的曲率与拓扑性质,具体内容如下:1.研究了单位球面S~(...  (本文共146页) 本文目录 | 阅读全文>>

复旦大学
复旦大学

黎曼流形上的学习理论—在线分类和多核算法

随着现代科学技术的发展,人们每天都要面对大量数据。如何去理解和处理这些数据并有效地加以利用成了当今科学技术的一个重要研究课题。机器学习是计算机得以广泛应用后逐渐发展起来的一门学科,它是研究如何利用已有的经验数据设计一些算法使计算机具有一些学习功能即从经验数据中学习出一些规律。学习理论是其中的一个分支,它的目标是给机器学习中的一些算法提供理论支持并由此设计一些更有效的算法。本文主要分析两类算法—在线分类算法和多核算法。特别地,本文的分析适用于流形学习(即所给的数据或所研究的函数关系分布在一个低维流形上),欧氏空间的情形只是其中的一个特例。首先,我们研究了一类更符合实际操作的全在线分类算法。它是一种可以表达为再生核希尔伯特空间中泛函极小化问题的在线算法,其包含的损失函数满足凸性。该算法的一个重要特征是正则化参数随着时间的变化而变化,因此跟以前正则化参数固定的半在线算法有很大不同。对于该算法的误差分析,我们先用一个新方法来估计由正则化...  (本文共96页) 本文目录 | 阅读全文>>

《纯粹数学与应用数学》2013年04期
纯粹数学与应用数学

局部对称的黎曼流形中的极小子流形

1引引言言黎曼流形中极小子流形的内蕴刚性定理在子流形几何里有非常重要的地位,1975年,文献[1]证明了如下定理:定定理理1.1设Mn是单位球Sn+p中的一个n维定向紧致无边的极小子流形,若Rijij≥p 12p 1,则Mn必为下列情形之一:(1)σ=0,Mn是全测地子流形;(2)Rijij=p 12p 1,Mn或者是Sn+1(1)中的Cliford极小超曲面,或者是S4(1)中的Veroness曲面S2(√3).2005年,文献[2]得到如下定理:定定理理1.2设Mn是局部对称的δ-pinching单连通黎曼流形Nn+p中的定向紧致无边极小子流形,如果Mn的截面曲率满足Rijij≥pδ+83(1δ)p(p 1)2p 1,则Mn必为下列情形之一:(1)σ=0,Mn是全测地子流形,并且Mn也是局部对称的;(2)Rijij=p 12p 1,Mn或者是Sn+1(1)中的Cliford极小超曲面,或者是S4(1)中的Veroness曲面...  (本文共9页) 阅读全文>>

《湖南理工学院学报(自然科学版)》2009年03期
湖南理工学院学报(自然科学版)

共形平坦的黎曼流形

引言黎曼流形称为共形平坦的,如果流形的度量共形类中有一个平坦的度量.明显所有的曲面是共形平坦的,对于维数大于或等于3的共形黎曼流形,它是共形平坦的充要条件是他的Wely张量为零(W=0).如果黎曼流形点点都不共形平坦,则它的共形变换群同构于度量共形类中某度量的等距群,因此只有在共形平坦的黎曼流形上,其共形变换群才有可能比某等距群大.因此在等距意义下弄清楚共形平坦的黎曼流形是很有意义的问题.这类黎曼流形受到许多几何学家的关注,见文[1~4,8].本文研究共形平坦的黎曼流形在一定Ricci曲率的条件的分类问题.我们的主要结果是:性质1设M是一黎曼流形,它的Ricci曲率平行,则M n是共形平坦当且仅当M n局部等距于下面黎曼流形之一:(ⅰ)M(c);(ⅱ)M(c)×M(?c);(ⅲ)M(c)×R1.定理1设M n(n≥4)是紧致定向的共形平坦黎曼流形,并且它的数量曲率为常数.如果它的Ricci是非负的,则M n是局部等距于M n(c...  (本文共4页) 阅读全文>>

《杭州师范学院学报(自然科学版)》2004年01期
杭州师范学院学报(自然科学版)

完备非紧黎曼流形到拼挤黎曼流形的P-调和映照

0 介 绍p 调和映照的稳定性一直受到很多人的关注。H.Takeuchi[1],Y.L.Xin&Y.H.Yang[2]和作者本人[3]都讨论过紧致黎曼流形到拼挤黎曼流形的稳定p 调和映照的不存在性。很自然的,我们会考虑完备非紧的情形。在此得到如下定理定理1 设Nn是n维紧致单连通的δ 拼挤黎曼流形且n,δ满足Gn,p(δ)=(p-1)[n4k23(δ)+k3(δ)+1]-2δ1+δ(n-1)0使Lu=△u-Gu,pn|dΦ|2u=0从而△u=Gn,pn|dΦ|2u≤0即u是M上正的上调和函数。因为M是强抛物的,所以u是常数。从而|dΦ|=0.即Φ是常数。定理得证。完备非紧黎曼流形到拼挤黎曼流形的P-调和映照@徐慧群$杭州师范学院数学系!浙江杭州310012强抛物黎曼流形;;稳定;;p调和文章讨论了从完备非紧强抛物黎曼流形到拼挤黎曼流形的稳定p 调和...  (本文共4页) 阅读全文>>