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凸体几何极值问题

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本文利用几何分析中的凸体几何理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体的等周问题和相关的不等式问题。首先,从以下几个方面作了重点研究:凸体的宽度积分和仿射表面积,凸体几何经典不等式的等价性,投影体和交体的各种极值性质,星体的对偶均值积分的极值问题,混合投影体的极体性质,投影体和交体的对偶均值积分差的极值问题以及混合投影体与混合交体神秘的对偶性质等。其次,重点研究解析不等式,像离散型和连续型Pachpatte不等式,Hilbert积分不等式,H(?)lder积分不等式,Bellman不等式,Minkowski积分不等式等并应用这些分析不等式建立了凸体几何中经典的Minkowski不等式,Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式的极形式和对偶形式。这些内容作为几何分析一个十分活跃的前沿方向,广泛应用于数量经济学,随机几何学,体视学和信息理论等领域。本文获得的主要结果:(1) 建立了混合投  (本文共150页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸体的极值问题

本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况.本文主要利用Brunn-Minkowski理论及L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究了凸体几何的极值问题.在Brunn-Minkowski理论领域关于极值问题研究方面:我们讨论了i∈R时凸体i—次宽度积分与对偶均质积分之间的关系,以及它的一些性质.推广和完善了E.Lutwak建立的当0≤i≤n时凸体i—次宽度积分的性质及其与均质积分之间的关系.我们获得了凸体i—次宽度积分的Blaschke-Santalo不等式,并建立了凸体i—次宽度积分Aleksandrov-Fenchel不等式的局部形式.我们建立了混合仿射表面积之间及其与混合投影体,质心体混合体积之间的不等式,并建立了Petty仿射投影不等式的广义形式和Buse...  (本文共88页) 本文目录 | 阅读全文>>

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L_p-空间中凸体几何的极值问题

本文隶属于L_p-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)领域,该领域是近10年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支。本文主要利用L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究L_p-空间中凸体几何的理论、几何体的度量不等式和极值问题。一方面,我们对L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论进行了研究。另一方面,我们研究了L_p-Brunn-Minkowski理论领域诸多几何体:L_p-投影体、L_p-质心体、新几何体Γ__pK、L_p-John椭球、L_p-曲率映象以及由我们新引入的L_p-混合投影体的体积、均质积分、仿射表面积构成的度量不等式和极值问题。在L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论研究方面,我们首次提出了L_p-混合均质积分的对偶概念-L_p-对偶混合均质积分,这个概念也将L_p-对偶混合体积和对偶均质...  (本文共157页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸几何与离散几何中的极值问题

本文主要利用Brunn-Minkowski理论及L_p-Brunn-Minkowski理论,研究了凸几何与离散几何中的一些极值问题。除去绪论外,全文可分为下面的三个部分(Ⅰ)第一部分主要由第二章,第三章和第四章构成,主要内容为Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题。在第二章中,我们主要讨论了经典的Loomis-Whitney不等式,结合E.Lutwak引进的混合体的概念,我们在John基上建立了混合体的Loomis-Whitney不等式,并且把它推广到了更为一般的向量基上;在第三章中,我们主要讨论了Schneider投影问题以及E.Lutwak,D.Yang和G.Zhang给出的修正形式的Schneider投影问题。在凸体的面积测度是迷向测度的前提下,我们给出了Schneider投影问题的一个上界,并讨论了凸体的投影和截面的一些极值性质。对于修正形式的Schneider投影问题,我们就正多边形给出了肯定的回答;在第四...  (本文共93页) 本文目录 | 阅读全文>>

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Orlicz Brunn-Minkowski理论中的若干极值问题的研究

本学位论文的研究内容隶属于凸几何分析理论,致力于研究Orlicz Brunn-Minkowski理论中的不等式和极值问题.本文主要利用Orlicz Brunn-Minkowski理论的基本概念,基本知识,研究凸体几何的理论,几何体的度量不等式和极值问题.本文第二章的主要内容是针对著名的未解决问题Mahler猜想展开研究,结合最近迅速发展的Orlicz Brunn-Minkowski理论,首先给出了Orlicz带胞形的定义, Orlicz带胞形是L_p带胞形的更一般化.在证明我们的主要定理的过程中,影子系统起到了至关重要的作用.影子系统的概念由Rogers和Shephard给出.凸体的影子系统,我们可以把它看成是点的影子系统的凸包.我们证明了下述重要的引理:设φ∈C, Λ_t, t∈[t_1, t_2]是一个沿着方向v的关于向量的影子系统,则Z_φ(Λ_t)是一个沿着相同方向的关于凸体的影子系统.基于这个引理,我们证明了两个关于O...  (本文共88页) 本文目录 | 阅读全文>>

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凸体及星体的不等式与极值问题

本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况,本博士论文以研究一般凸体、星体以及单形和超平行体等特殊类凸体的度量不等式和极值问题为主要内容,研究工作分为两个方面。一方面是利用几何分析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究一般凸体和星体的度量不等式和极值问题,由第二章和第三章构成。由于Petty-Schneider问题是凸体几何中一个热点问题,第二章首先推广Petty-Schneider问题到一般的均质积分情形;Ball在研究Petty-Schneider问题时讨论了球和立方体的截面性质,受Ball思想的启发,我们给出了球的截面的两个新的度量不等式;关于凸体的Brunn-Minkowski不等式是凸体理论的精髓,混合投影体的Brunn-Minkowski不等式也由Lutwak所证明,我们则证明了投影体的极体的Brunn-Minkowski型不等式。星体的对偶Brunn-Minkowski理论是上世纪70年代产生的新兴研...  (本文共101页) 本文目录 | 阅读全文>>