分享到:

关于常数数量曲率的子流形和Finsler流形上的调和函数

本文分成两大部分,共三章。第一部分包括第一和第二章,我们分别讨论了单位球面S~(n+p)中具有常数量曲率的子流形和de Sitter空间S_p~(n+p)(c)中具有常数量曲率的类空子流形,得到了它们的刚性定理。第二部分主要讨论了Finsler流形的上的调和函数。令M~n是等距浸入单位球面S~(n+p)中的一个连通定向子流形。如果M~n是紧致无边的,则我们称它是闭的。用R,H和S分别表示M~n的规范化数量曲率,平均曲率和第二基本形式模长平方。关于子流形的分类问题一直是让人感兴趣的问题。对于等距浸入到单位球面中的极小子流形或具有平行平均向量场的子流形,已经得到了不少刚性的结果,问题也已经研究得比较清楚([9],[12],[23],[25])。于是,具有常数量曲率的子流形自然就成了大家的研究课题。Cheng和Yao最早研究了空间形式中的常数量曲率超曲面的([7]),引入了一个自共轭的二阶椭圆算子。这个算子现在仍是我们研究常数量曲率子  (本文共56页) 本文目录 | 阅读全文>>

浙江大学
浙江大学

黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题研究

本文着重研究黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题,主要内容包括子流形的几何刚性、拓扑球面定理和Laplace-Beltrami算子的特征值问题。刚性理论是子流形几何中久盛不衰的重要方向,其根源可追溯到经典曲面论的高斯绝妙定理。近40年来,这一研究领域取得了许多重要进展,其中关于球面中极小子流形的Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi定理被国际上公认为这方面最重要的成果之一。Okumura、丘成桐、do Carmo等许多学者曾试图证明球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理,并获得部分结果。1993年,Xu完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理。之后,Xu又证明了单位球面中平行平均曲率子流形整体pinching的刚性定理。本文证明了pin...  (本文共117页) 本文目录 | 阅读全文>>

复旦大学
复旦大学

空间型中子流形的第一特征值及超曲面的r-稳定性

本文分成两部分,在第一部分,我们利用空间形式R~(n+p)(c)中等距浸入的紧致无边子流形M~n的广义位置向量场,通过建立两个关于广义位置向量场的切部,法部和M~n上的Laplace算子第一非零特征值λ_1~Δ的积分不等式,给出了λ_1~Δ与其上界nc+n/v intergral from n=M H~2dv间隔的一个下界估计,换句话说,得到了λ_1~Δ的更精确估计。同时得到了此紧致无边子流形等距浸入在空间形式R~(n+p)(c)的测地超球面中或等距于测地超球面的充分条件,推广了Deshmukh在欧氏空间中的相应结论。在第二部分,我们考虑空间形式R~(n+1)(c)中的超曲面上的关于高阶平均曲率的线性化算子L_r,给出其第一非零特征值λ_1~(L_r)的新的外在上界,也即用高阶平均曲率表示的上界。其次我们还对这新的上界与λ_1~(L_r)的间隔给出了一个下界估计。在H_(r+2)>0和H_(r+1)>0的条件下,通过建立两个积分...  (本文共60页) 本文目录 | 阅读全文>>

复旦大学
复旦大学

拉格朗日子流形几何及相关问题

本文主要研究了拉格朗日子流形几何及相关问题,主要内容包括伯恩斯坦型定理、特殊拉格朗日子流形的扭曲法丛构造、哈密尔顿极小拉格朗日子流以及具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形。标准的伯恩斯坦定理是说三维欧氏空间中的整体极小图是平面。更为精确地说,设z=f(x:y)是定义在2-维欧氏空间R~2上的整体的光滑函数,如果图∑=(x,u,f(x,y))是3-维欧氏空间R~3中的极小曲面,则函数f是一个线形函数,即图∑是一个平面。在余维数为1的情况,这个结果以被推广到(n+1)-维欧氏空间中(n≤7),以及在某种增长性限制下,这个结果被推广到任意维数欧氏空间中,这些结果可以参考[17]及其参考文献中所提到的文献。对于高余维数的情况变得比较复杂。由于LawsonOsserman在[31]中所提出的反例,我们不能希望有关高余维的Bernstein型定理在最一般的情况下是正确的。因此,我们必须在某种适当的条件下来建立有关高余维情况的Bernst...  (本文共58页) 本文目录 | 阅读全文>>

浙江大学
浙江大学

子流形上整体几何与几何分析的若干问题研究

本文着重研究黎曼子流形上整体几何与几何分析的若干问题,主要内容包括子流形的同调群消没定理、拓扑球面定理、L~2调和1-形式、端的有限性和Laplace算子谱等问题。1973年,H.B.Lawson和J.Simons运用Federer-Fleming存在性定理[19]和几何测度论中变分技巧证明了单位球面中紧致黎曼子流形上稳定积分流的不存在性定理和同调群消没定理[30]。1984年,忻元龙将Lawson-Simons稳定积分流的不存在性定理和同调群消没定理拓广到了欧氏空间中紧致子流形的情形,并给出了若干重要的应用[47]。1997年,K.Shiohama和许洪伟运用关于稳定积分流不存在性的Lawson-Simons-Xin定理证明了完备单连通的非负常曲率空间型中完备子流形的拓扑球面定理[43]。本文进一步将Lawson-Simons-Xin同调群消没定理拓广到双曲空间中紧致子流形的情形,并运用这一新的同调群消没定理证明了双曲空间中完...  (本文共68页) 本文目录 | 阅读全文>>

《安庆师范学院学报(自然科学版)》2014年04期
安庆师范学院学报(自然科学版)

复射影空间中的全实非平凡2-调和子流形

本文研究了复射影空间中的全实非平凡2-调和子流形,...  (本文共3页) 阅读全文>>