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Obrechkoff方法在求解常微分方程振荡、刚性问题中的应用研究

由于常微分方程本身的重要性以及在不同领域的广泛应用,贯穿整个20世纪,常微分方程的数值求解研究得到了巨大的发展。特别是,随着计算机性能的快速提高,一些著名数学软件的不断深化发展,更多的新思想得以实现,更多的复杂方法涌现出来,常微分方程数值求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。计算机的数值计算功能对物理学中常微分方程研究的用途不仅仅是可以得到数值结果,更为重要的是,它为物理学家提供了“计算机模拟实验”这个新的研究手段。有了计算机数值计算这个强有力的工具,我们将目光投向物理领域中一些较为复杂的常微分方程(非线性Duffing方程,周期性振荡方程以及刚性方程)的数值求解与相应数值方法的研究。在物理领域中,常常可以遇到一些应用很是广泛的常微分方程,例如薛定锷方程、非线性Duffing方程、天体轨道方程以及刚性方程等。这些方程多为一阶或二阶的常微分方程,形式简单,却很少能得到解析解。即使数值求解也往往存在着求解精度不高或因方  (本文共164页) 本文目录 | 阅读全文>>

山东大学
山东大学

非线性奇异常微分方程的若干问题

随着科学技术的发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等领域出现了各种各样的非线性问题。由于其广泛的应用背景和深刻的数学意义,这些非线性问题引起了许多学者的密切关注。目前,非线性泛函分析已经成为现代数学中的一个重要分支。它为解决各种各样的非线性问题提供了一个富有成效的理论工具。利用非线性泛函分析研究问题的主要方法有:拓扑度理论、临界点理论、半序方法以及分析方法等。关于非线性泛函分析及其应用,国内外有许多优秀的专著(见[1,5,6])。许多非线性问题可以通过转化为相应的方程获得研究,例如可以转化为:微分方程、积分方程、积分-微分方程、差分方程及算子方程等其它类型的各种方程。奇异常微分方程的研究起源于各种应用学科,例如,核物理、气体动力学、牛顿流体力学、边界层理论、非线性光学等。在普通空间中,奇异微分方程的正解以及多个正解的存在性获得了充分的研究,出现了一大批优秀的成果。近十年来,抽象空间中的常微分方程理论已...  (本文共88页) 本文目录 | 阅读全文>>

西北大学
西北大学

常微分方程理论的形成

常微分方程理论从创立至今已有300多年的历史了,作为一门理论意义和实际应用并重的学科,现已与其他学科不断交叉融合形成一些新的分支和增长点。本文在前人研究的基础上,利用历史分析、比较研究的方法,兼顾思想内容和具体方法,对常微分方程理论的形成进行研究,主要成果为:(1)考察了微分方程理论产生的社会、生产和科学背景,分析了17世纪力学、物理学、几何学和声学等自然科学与数学的紧密结合对微分方程学科萌芽的刺激作用。(2)深入探究了常微分方程在微积分创立过程中的原始形态和研究状况。牛顿是第一位开始求解微分方程的数学家,莱布尼茨则首次提出数学名词“微分方程”。本文重点考察了牛顿首创的级数法和他最先提出并应用于三体问题求解的参数变易思想,剖析了莱布尼茨解决与曲线有关的问题过程中微分三角形与微分方程的巧妙联合。指出:正是这些工作使微分方程从微积分研究中初露端倪,预示它即将作为一门新的分析分支登上数学舞台。(3)集中论述了17、18世纪数学史上兴起...  (本文共189页) 本文目录 | 阅读全文>>

吉林大学
吉林大学

随机常微分方程数值分析中的若干方法

本文主要分两大部分:第一部分(第二章和第三章),我们研究了一类逼近It(?)随机常微分方程初值问题解的分步方法;第二部分也即第四章我们考虑了逼近Stratonovich随机常微分方程初值问题解的随机Runge-Kutta方法.在第二章,我们研究了一类基于Euler方法和Milstein方法的显式分步方法,分析了它们在精度和稳定性上的提高,并分别证明了它们的收敛性.在第三章,针对刚性It(?)随机系统,我们提出了分步向后Milstein方法和分步向后平衡Milstein方法,证明了它们的收敛性,得到了更稳定的结果.在第四章,通过引入更高的确定阶条件和刚性精度,我们构造了一个具有高精度的显式随机Runge-Kutta方法,两个稳定的半隐式随机Runge-Kutta方法和一个稳定的隐式随机Runge-Kutta方法,其中显式方法和第一个半隐式方法适用于非刚性Stratonovich随机微分方程,两个半隐式方法和隐式方法则适用于刚性St...  (本文共136页) 本文目录 | 阅读全文>>

《湖北开放职业学院学报》2019年06期
湖北开放职业学院学报

数学建模在常微分方程中的应用

建立数学模型来解决数学学科中的问题可以说是目前理论联系实际最好的例子,运用模型与实际情况之间的微妙联系对问题做出合理的分析和选择最优方案来解决问题,这是一种将理论知识上升为...  (本文共3页) 阅读全文>>

《数学学习与研究》2016年21期
数学学习与研究

浅谈Maple在常微分方程教学中的一些应用

基于Maple软件强大的符号运算和数值计算功能,探讨其在常微分方...  (本文共1页) 阅读全文>>