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调和仪

一、引言 直尺与圆规是人类最古老的数学仪器,圆规用以画圆,直尺用以作直角。中国有句古语,叫“不以规矩不能成方圆”。 我国上古就知道以绳作规,名日绳规,用以作圆;在矩的制作上,有“勾三股四弦五”的诀窍。规与矩的发明、制作,我国可算是最早的国家。 按数学作图的进展来说,除直角与圆以外,应以调和分割为一种基本操作。 遍查文献及专利档案,都未提及有这种仪器。于是,作者想能发明一种能先作出调和线束,然后作出调和点列的仪器,并以其作为一种直观教具而填补数学仪器中的空白。 本文研究范畴属于数学仪器,其文献中之代表著有〔1〕〔2]〔3」〔4〕[5〕〔6〕〔7〕〔s〕,查证未列,专利档案〔17〕中亦无。本文研究学科内容属于机构综合,其文献之代表著有〔4〕〔5〕〔12〕〔13」二14〕[38〕[39〕〔41〕〔45三〔46〕〔47〕〔48〕仁49〕〔50〕,查证未列,在数学上属直观几何与射影几何,这类著作,具有权威性者如〔26〕〔9〕仁10习〔11...  (本文共7页) 阅读全文>>

《数学通讯》2019年04期
数学通讯

调和点列在一道圆锥曲线竞赛题中的应用

一、引言文[1]研究了一道圆锥曲线竞赛试题:试题 (2005年四川省高中数学联赛预赛15题)已知椭圆C:的左右两个焦点为F1,F2,离心率,两条准线间的距离为42.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,椭圆的左顶点为M,连接MA,MB并延长交直线x=4于P(4,y3),Q(4,y4)两点,若,求证:直线AB恒过定点,并求出定点坐标.文[1]对此题进行了“寻根问源”和“拓展、延伸”研究,得到了若干推广的结论,其中一个是(参见图1):结论1 已知椭圆C:,直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,椭圆的左顶点为M,连接MA,MB并延长交直线于P(m,y3),Q(m,y4)两点,若,则直线AB恒过定点.反之也成立.特别地,若定点为椭圆焦点,则直线为对应的准线.文[1]还对结论1作了进一步探究,揭示了结论1成立的一个本质原因——直线x=m是点关于椭圆的极...  (本文共3页) 阅读全文>>

《中学教研(数学)》2010年10期
中学教研(数学)

调和点列对称性的妙用

文献[1]给出平均不等式链:a2+b2槡2≥a2+b≥槡ab≥12a+1b(1)的多种几何模型,笔者就平均不等式链的几何模型的本质作一深入研究,供参考.1平均不等式的几何意义对于不等式链(1)中的平均不等式,通常称:E=a2+b2槡2为均方平均,主要是通过“勾股定理”获得其结构式;M=a2+b为算数平均,主要通过“线段作和”获得其结构式;G=槡ab为几何平均,主要通过“圆幂定理”获得其结构式;H=12a+1b为调和平均,但怎样构造成为人们研究的问题.文献[2]给出了调和点列的定义:对于一直线上排列的4个点A,B,C,D构成的有向线段,若满足:A→C·B→DA→D·B→C=-1,则称点C和点D调和分割点A和点B,记为(AB,CD)=-1.并给出调和点列的作图方法:如图1,当点C在AB的延长线上时,过点C作以AB为直径的⊙O的切线CP切圆于点P,过点P作直径AB的垂线交AB于点D.于是点D是点C对于A,B的调和共轭点.图1图...  (本文共3页) 阅读全文>>

《中学教研(数学)》2010年01期
中学教研(数学)

调和点列的妙用

1调和点列的定义对于一直线上排列的4点A,B,C,D构成的有向线段满足:AACD··BBDC=-1,则称点C和D调和分割点A和B.记(AB,CD)=-1.它的一个特例,就是中学几何三角形中一个角的内角和外角平分线与对边的交点,将三角形对边的2个顶点调和分割.引例如图1,AB为圆O的直径,C为直径延长线上一点,从点C向圆引切线CP.证明:点P在AB上的垂直射影D及点C是对于点A,B的调和共轭点.证明由CP是⊙O的切线,得∠1=∠PAB,∠4=∠PBA.又AB是直径,PD⊥AB,得△APB∽△ADP∽△PDB,所以∠2=∠PAB=∠1,∠3=∠PBA=∠4,即PA,PB分别为△CPD内角∠CPD和外角∠EPD的角平分线,于是(AB,CD)=-1,故点D是点C对于点A,B的调和共轭点.2调和点列的作图由引例的证法,可得出求直线AB上点C的调和共轭点D的作图方法.如图1,当点C在AB的延长线上时,(1)过点C作以AB为直径的⊙O的切线C...  (本文共2页) 阅读全文>>

《数学通讯》2017年24期
数学通讯

调和点列:一道2017年北京高考题的背景分析及应用

近年来,命题者开始挖掘高等几何中的一些素材来命制高考圆锥曲线试题[1],此类试题也逐渐引起老师们的关注,其中被关注得较多的是具有极线背景的圆锥曲线试题,人们热衷于揭示其背景、研究其变式[2][3][4].事实上,高等几何中可用来命题的素材还有很多,调和点列就是可供挖掘的素材之一.本文通过分析一道2017年北京高考卷圆锥曲线试题,揭示其调和点列的背景,并举例说明其应用.1.有关概念和性质定义1[5][6] 对于线段AB的内分点C与外分点D,若ACCB=ADDB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.根据定义1易知,若线段AB被C、D调和分割,则线段CD也被A、B调和分割.调和点列与圆锥曲线的极线概念密切相关.事实上,根据高等几何知识我们有:定义2[5] 设两点C、D的连线与圆锥曲线Γ相交于A、B,若线段AB被C、D调和分割,则称C、D是关于圆锥曲线Γ的一对调和共轭点.定义3[5...  (本文共2页) 阅读全文>>

《中学生数学》2018年19期
中学生数学

调和点列的一个性质

如图1,A、B、C、D为同一直线上的四点,若AB·CD=BC·AD,则称A、B、C、D构成调和点列[1].图1一、性质如图2,A、B、C、D是一组调和点列,P是以AC为直径的⊙O上一点(A、C除外).则PC平分∠BPD.  图2图3证明 如图3,延长PB交⊙O于E,ED交⊙O于F,连结CD、EC、AF、AP、FC、AE,有AB△APEAP·AE==烌BC△CPECP·CEAD△AFEAF·AEAPAF==CD烍=△CFECF·CECPCFABADAB·CD=BC·AD=BCCD烎AP2CP2AP2+CP2烌AF2=CF2=AF2+CF2烍AC为直径AP2+CP2=AC2=AF2+CF2烎{AP=AFCP=CF由此易证△APD≌△AFD.进而∠APD=∠AFD,有∠APD-90°=∠AF...  (本文共1页) 阅读全文>>