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射影坐标系的教学

笔者曾使用过浙江师院程其坚副教授所编写的《高等几何讲义》一书作为教材。这本教材是根据近代克菜因的群论观点,以射影变换为基本线索,把射影几何的基本内容连缀起来,内容充实,系统严谨,能密切联系初等几何。在这本教材中,关于建立平面射影坐标系的方法,既没有用射影不变量“交比”也没有用射影连续公理或在原来的笛氏坐标系通过添加无穷远直线等办法,而是根据有序三数组的运算性质建立起来的。这种方法比较抽象,也是有趣的。由于教材内容简要,是教学的一个难点。本文就是要说明在教学中是如何突破这个难点,而使学生能够掌握其基本内容。具体做法如下.1介绍几个基本概念 为了更好地理解与掌握平面射影坐标系的建立,要先复习下面几个概念,即除零类以外的所有类〔划的集合,称为射影平面。一个类:别称为射影平面的一个射影点x,简称点X。点X二(X:、X:、X:)中三个数X、(i一z,2,3)不同任何坐标系发生联系,故称为点X的绝对坐标,也称公理法坐标或自然坐标。X是类〔X...  (本文共7页) 阅读全文>>

《运城高等专科学校学报》2000年06期
运城高等专科学校学报

略论平面射影坐标系的具体画法及其应用

各种《高等几何》都介绍平面射影坐标系的定义 ,然而都不介绍其具体画法 ,当然更谈不到在其上画出射影几何图像。本文论图解决这一问题。定义 平面上无三点共线的任意四点 ,A1(1 ,0 ,0 ) ,A2 (0 ,1 ,0 )、A3(0 ,0 ,1 )和 E(1 ,1 ,1 )唯一确定一个平面射影坐标系。图 1其中 A3为坐标原点 ,直线 A3A1、A3A2 、A1A2 分别为 x轴、y轴和 z轴 ,E为单位点。如图 1所示。根据射影平面的重要性质 :平面上任意两点确定一条直线 ;任意两条直线确定一点 ,可将射影平面上所有直线 [u1,u2 ,u3]和点[a1,a2 ,a3]唯一确定下来。因为点λ(a1,a2 ,a3)与 (a1,a2 ,a3)表同一个点 ,在射影坐标系上为唯一确定起见 ,我们约定在平面射影坐标系上点的坐标具有两种形式中的一种 :i)当 a3≠ 0时 ,可化为 (a1,a2 ,1 )形式 ,称之为有限点 ;ii)当 a...  (本文共2页) 阅读全文>>

《曲阜师范大学学报(自然科学版)》1996年01期
曲阜师范大学学报(自然科学版)

采用齐次向量建立二维射影坐标系

将欧氏平面拓广,添加无穷远点和无穷远直线,得到拓广平面.在拓广平面上,对于有穷元素和无穷远元素不加区别,则得到一个射影平面.在射影平面上建立射影坐标系,通常的高等几何教科书[1]、[2]采用交比的方法,不仅建立过程复杂,学生不易接受,而且不便于实际操作.另一些高等几何教科书[3]、[4]在笛氏齐次坐标的基础上,用解析法建立射影坐标系,但叙述过于简单,也给学生带来困难.我们在教学中[5],以笛氏齐次坐标为基础,引进齐次向量的概念,运用空间向量的运算,来建立二维射影坐标系.这种方法既易于学生理解和接受,又便于实际操作,而且很容易得到笛氏齐次坐标恰是射影坐标的一个特例;推导射影坐标系之间的变换公式也十分方便;同时它还便于推广.1 点的代表向量和齐次向量采用笛氏齐次坐标,射影平面上任一点A有坐标(a1,a2,a3),a1,a2,a3不同时为零.我们把这个非零三数组(a1,a2,a3)看成三维空间中的一个向量A,A=(a1,a2,a3)....  (本文共5页) 阅读全文>>

西安电子科技大学
西安电子科技大学

基于雅可比加重射影坐标系的ECC算法设计及硬件实现

随着网络被广泛的应用,数据传输网络的安全已经成为一个热点问题。公钥密码学所涉及的数学理论通常包括大数因子分解问题和有限域的离散对数问题。椭圆曲线加密ECC(Elliptic Curve Cryptography)是1985年Victor Miller与Neal Koblitz提出的一种公钥密码体制。在目前的情况而言,ECC能够提供在每比特数据传输中拥有最高安全强度的一种加密算法。确保在相同安全强度下,根据椭圆曲线离散对数难解这个显著的特点,ECC在密钥的长度小、存储的信息量少、传输带宽小以及功耗低等所体现的性能,远比另一种公钥密码体制RSA具有更大的优势。随着计算机硬件的发展和高性能计算技术的发展,ECC加密算法运算的速度问题受到广泛的重视,如果用软件实现的ECC算法芯片面积大,运行速度也慢。一般的算法由于求逆运算过多而导致整个加密算法运算速度过慢,本文就此提供了如何能更有效的加快ECC椭圆曲线加密运算的硬件实现设计思路过程。E...  (本文共82页) 本文目录 | 阅读全文>>

《辽宁大学学报(自然科学版)》2000年02期
辽宁大学学报(自然科学版)

用解析法证明STEINER定理

定理 (Steiner) 若a和a′是一个二阶曲线Γ上的相异点 ,x为Γ上的流动点 ,则由线束a(a×x)到线束a′(a′×x)的映射是射影变换 ,但不是透视变换 (见图 1 ) .证 以a为d1,a′为d3,其切线交点为d2 ,d1d2 d3为坐标三点形 ,则Γ的方程为图 1  x2 -kx1x3=0 , k≠ 0 . (1 )于Γ上取异于a和a′之一点为e(1 ,1 ,1 ) ,代入 (1 )得k=1 ,故Γ的方程是  x22 -x1x3=0 . (2 )在线束a()里取任意直线  =λδ2 + μδ3, λ≠ 0 ,μ≠ 0 ,(3 )它的坐标是 =(0 ,λ ,μ) ,它的方程是  λx2 + μx3=0 .(4 )直线与Γ除交点a外还有另一交点设为x ,则 =a×x ,且...  (本文共2页) 阅读全文>>

《四川师范大学学报(自然科学版)》2000年06期
四川师范大学学报(自然科学版)

平面射影变换基本定理的简洁证明

1  问题的提出由于在证明射影变换基本定理之前 ,早已证明了射影坐标变换的一个定理[1] :射影坐标系σ =[O( 1) ,O( 2 ) ,O( 3) ;e]到σ′ =[O′( 1) ,O′( 2 ) ,O′( 3) ;e′]的坐标变换是满秩线性变换ρx1x2x3=a11a12 a13a2 1a2 2 a2 3a31a32 a33x1′x2 ′x3′, det(aij) ≠ 0 .其变换矩阵A的第一、二、三列分别是σ′的第一、二、三基点在σ下的满足关系 (O′( 1) ) +(O′( 2 ) ) +(O′( 3) ) =(e′)的射影坐标 .从几何的角度看 ,射影坐标变换与射影变换是完全不同的 ,但从它们的代数表示式来看 ,它们都是满秩的线性变换 ,因此实质上又是一回事 .射影变换的基本定理非常重要 ,而直接证明却比较艰巨 ,需要长达 3页的篇幅 ,本文用射影坐标变换的观点来证明 .平面射影变换基本定理 设b(i) (i=1,2...  (本文共2页) 阅读全文>>