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数值相关性理论及其应用

洛1.引言 解坏条件(即通常所说的病态)方程组的问题是一种颇为困难的问题。而问题条件的好坏,往往为相应矩阵条件数的大小所决定。例如,线性代数方程组的系矩数阵,非线性方程组以及非线性最小二乘问题的Jacobi矩阵,非线性最优化问题中目标函数的Hessian矩阵等。在前述矩阵的条件数很大时,用一般的方法求解,难望得到满意的结果。所以,研究解坏条件问题的有效方法便成为目前计算数学中的一种重要课题。 我们认为,解决这样的问题应当从产生坏条件的根本原因上来考虑。根据最近几年我们解非线性最小二乘问题的初步实践,我们发现Jacobi矩阵的条件好坏和矩阵列向量之间的相关性存在着极为密切的联系。但是,古典的相关性概念是采取一刀切的办法,缺少必要的定量估计,因而对处理坏条件问题显得无能为力。我们对古典的相关性理论作了一些必要补充,对相关性程度给予定量估计,业在相关性程度和条件数之间建立了初步联系。此外,我们还给出了检验向量系相关性程度的具体方法,业...  (本文共9页) 阅读全文>>

《四川师范大学学报(自然科学版)》1980年60期
四川师范大学学报(自然科学版)

线性代数方程组的通用性迭代解法

0前言求解线性代数方程组是科学和工程计算中最重要的问题之一,方法大致分为直接法和迭代法两类.求解一般的高阶线性代数方程组往往借助迭代解法.该问题目前的国际潮流是求解石油、气象、航空、材料等工业部门提出的系数矩阵阶大于百万量级的大型稀疏线性代数方程组.因此,迭代解法的研究便更显其重要性.行处理法(Rowactionmethod)(参见文[1])之前的各种迭代解法共同的棘手问题有两点:一是其收敛性取决于系数矩阵的某些性质,即无通用性;一是系数矩阵阶较大时的计算机存储问题.文献[1]中用代数方法证明了行处理法用于求解非奇异线性代数方程组是保证收敛的.本文用更为直观的几何方法证明了这一结论并推广到用于求解多解线性代数方程组的收敛性.有关行处理法用于求解矛盾线性代数方程组时其发散摆动是很有规律的问题,我们将另文叙述.1预备知识本文在实数域中讨论.用(,)表示两向量的内积,用2表示向量的欧氏范数.定义1.1将n×m阶线性代数方程组(αi,x...  (本文共5页) 阅读全文>>

《山西大学学报(自然科学版)》1980年40期
山西大学学报(自然科学版)

线性代数方程组解的表示

关于线性代数方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………………am1x1+a12x2+…+amnxn=bm(1)的数值求解的讨论,已有很多结果,通常的方法是采用消元法和叠代法,但为了保证收敛性和稳定性,对系数矩阵的要求很高,尤其当阶数较高时,计算量很大。最近,崔明根等人[1-3]在一般的可分Hilbert空间中利用投影理论给出了算子方程,不适定问题的解的表示,得到了很好的结果,本文在他们工作的基础上给出了方程组(1)的形式解,讨论了解的存在性与唯一性,当方程组多解时,我们给出的形式解是其最小范数解,当方程组有唯一解时,我们得到的就是经典解,当方程组无解时,得到的形式解为最小二乘解。值得指出的是,我们所给出的方法既便于对方程的解进行理论分析,又便于数值计算,大量数值算例表明,文中所给的方法是有效的。1线性方程组的解的表示记A=a11a12…a1na21a22…a2n………...  (本文共4页) 阅读全文>>

《山西大学学报(自然科学版)》1988年03期
山西大学学报(自然科学版)

关于实nxn非奇异病态线性代数方程组数值解法的进展

毒冷- 据中国科学院计算中心的不完全统计,工程实践中提出的计算问题,有一半以上包括求解线性方程组问题,例如结构应力分析问题,电力传输网分析间题,大地测量问题,数据拟合问题,各种晶体管分析问题等等〔1〕。求解线性方程组的最普遍来源之一是用差分方程组来逼近求解常微或偏微分方程问题,对于某些问题来说,此差分方程组〔2〕是病态的线性代数方程组。求解线代数方程组的第二个非常重要的来源是线性最小二乘问题的求解〔幻,‘而由此导出的线性方程组有时又是病态的。如利用Gauss一Newton方法解非线性超定方程组的最小二乘问题往往就遇到病态线性代数方程组问题〔4〕。在非线性方程组的数值求解〔们和在最优化计算中这个病态间题的研究又非常重要,有着不可忽视的影响〔“〕。在实践中,在一些物理,物理化学中,这个问题的研究也是很重要的〔“〕。对于这个问题若我们用通常的直接法(如列主元素消去法和通常的QR方法)来求解时由于该方程组的条件数大(Cond(A)=}}...  (本文共5页) 阅读全文>>

《长沙交通学院学报》1988年01期
长沙交通学院学报

叠加法在刚性路面应力分析中的应用

众所周知,在进行刚性路面的理论分析时有两种常用的力学模型,即Winkler地基板模型和弹性半空间地基板模型。但这两种模型目前都只能求得无限大板和轴对称圆板的解析解。而实际的水泥混凝土路面大多为矩形板结构,且工程中最为关心的是载荷作用于板边和板角时路面板的受力状态,所以,只能借助于有限元法或有限差分法等数值方法求解〔3〕。这类方法的特点是适用范围广,可解决各种力学模型的计算问题;但数据量较大,对计算机内存容量有一定的要求,且计算时需占用较长的CPU时间,故不便在工程部门推广使用。 相比之下,应用叠加法求解时数据量小,:片用机器内存少,只须输入混凝土面板的几何尺寸和材料参数以及地基系数即可在任何微型机上求得足够精确的计算结果。故便于在工程部门推广使用,以实现计算机辅助设计的规范化。1理论分析1.1车轮载荷作用于路面板的中央 设车轮和路面之间的接触区域为一矩形,并将接触应力近似地看作为一常值q0(图1)。则当以winkler地基板为力...  (本文共12页) 阅读全文>>

《工程热物理学报》1989年02期
工程热物理学报

用改进的强隐式方法求解平面叶栅跨音速绕流问题

一、前言 在用势方程求解跨音流动的计算中,往往通过坐标变换将物理平面上的控制方程转换为计算平面上的控制方程进行求解.当采用非正交变换时,计算平面上的控制方程将产生交叉导数项.经离散化后差分方程中就含有相邻九个网格点上的参数.[l]的sIP方法不能同时求解与交叉导数项有关的参数,而是将其处理成求解方程的右端项,所求解的是五对角系数阵的线性代数方程组.对于强弯叶片和安装角较大的叶栅流场,交叉导数将产生重要影响,对此,本文提出一种SIP方法,能够直接求解九对角系数阵的线性代数方程组. 二、差分方程及其解法 对于二维、可压缩、无旋流动,文[2J给出了计算平面上的全位势方程: (ap币。+口p币,);+(夕p功;+下户小,),一o(1) 经离散化可得差分方程(2),相应的边界条件见文献【31.为使方程格式统一,引人人工密度,于是在求解域全部内点上可构成(11一2)x(JJ一2)阶线性代数方程组(3). A△中从,lj一,+B△币犷二,+C...  (本文共3页) 阅读全文>>