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数值相关性理论及其应用

洛1.引言 解坏条件(即通常所说的病态)方程组的问题是一种颇为困难的问题。而问题条件的好坏,往往为相应矩阵条件数的大小所决定。例如,线性代数方程组的系矩数阵,非线性方程组以及非线性最小二乘问题的Jacobi矩阵,非线性最优化问题中目标函数的Hessian矩阵等。在前述矩阵的条件数很大时,用一般的方法求解,难望得到满意的结果。所以,研究解坏条件问题的有效方法便成为目前计算数学中的一种重要课题。 我们认为,解决这样的问题应当从产生坏条件的根本原因上来考虑。根据最近几年我们解非线性最小二乘问题的初步实践,我们发现Jacobi矩阵的条件好坏和矩阵列向量之间的相关性存在着极为密切的联系。但是,古典的相关性概念是采取一刀切的办法,缺少必要的定量估计,因而对处理坏条件问题显得无能为力。我们对古典的相关性理论作了一些必要补充,对相关性程度给予定量估计,业在相关性程度和条件数之间建立了初步联系。此外,我们还给出了检验向量系相关性程度的具体方法,业...  (本文共9页) 阅读全文>>

《山西大学学报(自然科学版)》1940年10期
山西大学学报(自然科学版)

M矩阵PE方法的收敛性

M矩阵PE方法的收敛性梁吉业(山西大学计算机科学系)摘要文中在系数矩阵为M矩阵的条件下,证明了解线性代数方程组的PE方法的收敛性。关键词线性代数方程组,M矩阵,PE方法中图分类号O241.60引言在实际问题中,往往最后得到的线性代数方程组AX=F(1)的系数矩阵A为块三对角矩阵此处B_i为n_i阶方阵,A_i和C_i各为n_i×n_(i-1)和n_i×n_(i+1)长方阵。WilliamS.Helliwell提出了一种称为PE(Pseudo-Elimination)方法的迭代法来解这样的方程组。他认为这种方法较强隐式(SIP)法好,当然更比交替方向等其他方法好。它具有迭代收敛快、存储量少等优点,但作者未讨论PE方法的收敛性。在文献[1]中,对系数矩阵A为正定矩阵和对角优势L阵情形,证明了PE方法的收敛性。本文改进了文献[1]的部分结果,将对角优势L阵减弱为M矩阵,证明了PE方法的收敛性。1PE方法将A分裂成如下形式,此处I_i为...  (本文共3页) 阅读全文>>

《工科数学》1980年40期
工科数学

通解矩阵(英文)

1.DefinitionDefinition1LetA=(aij)n×(n+1)beamatrix.Aiscaledageneralsolutionmatrixifitsat-isfiesthefolowingproperties:(i)aij=0fori>j(i=2,…,n).(i)aiisonlyequaleitherto1ortozero(i=1,…,n).(ii)Ifai=1,thenaki=0(i=2,…,n;k=1,…,i-1).(iv)Ifai=0,thenaij=0(i=1,…,n;j=i+1,…,n+1).Forexample,matrix1-2011000000012-100000iaa4×5generalsolutionmatrix.2.TheoremTheorem1LetA=(aij)n×n,rank(A)=r,b=(b1,…,bn)T,x=(x1,…,xn)T,wherex1,…,xnareunknow...  (本文共4页) 阅读全文>>

《曲阜师范大学学报(自然科学版)》2012年04期
曲阜师范大学学报(自然科学版)

双侧逼近技巧在求解线性代数方程组中的应用

1引言在《高等数学》、《数学分析》教材中,关于数列极限和函数极限有如下的双侧逼近定理[1]:定理1如果三个数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件:(1)ynxnzn(n=1,2,…);(2)limn→∞yn=A,limn→∞zn=A,那么数列xn当n→∞时极限存在,且limn→∞xn=A.定理1'设U(a,δ),x∈U°(a,δ)有g(x)f(x)h(x),且limx→ag(x)=lxi→mah(x)=A(有限或±∞.∞除外),则limx→af(x)=A.对于上述定理中满足不等式(1)的三个数列xn,yn,zn(n=1,2,…),如果有(2)式则必有limn→∞xn=A,这样一来,yn和zn便是把xn夹在中间并且逼近于xn,因此不妨把yn和zn称为xn的双侧逼近或两侧逼近.上述双侧逼近的定理是在数列yn与zn或函数g(x)与h(x)有相同的极限的情况下成立.可以用作求数列或函数的极限,也可用在以求极限为基...  (本文共5页) 阅读全文>>

《数值计算与计算机应用》1983年01期
数值计算与计算机应用

解一类线性代数方程组的直接法

二阶椭圆型微分方程边值问题的数值求解在实践中具有重要的意义.当用差分法解这类问题时,结果就要求解一类线性代数方程组,这类方程组的系数矩阵具有一些特殊的结构和性质.以矩形区域上的二维问题为例,若用矩形网格,节点按自然次序编号,用通常的五点格式所得方程组的系数矩阵是块三对角的.用“矩阵追赶法”解这类问题效果很差,即计算量和存储量相当大而精度差.问题在于,这种解法中有许多矩阵求逆运算,而这些矩阵中有些可能是病态的LI].矩阵追赶法的一些变形(见〔2]、〔3]等),结果也常归结到一个病态方程组的求解,因而大大影响精度.同时,仍有要求存储量大和计算过程不稳定等缺点.用Gaus:主元消去法或Crout方法等,由于非零元素的大量充人,破坏原来矩阵的稀疏性,使存储量增大. 本文提出一种直接法可以克服上述诸方法的某些缺点,特别适用于并行计算.在51中我们导出分块矩阵求逆的一个表达式;52将这种分块法用于解由二阶椭圆型方程边值问题(二维情况)的差分...  (本文共5页) 阅读全文>>

《江汉石油学院学报》2002年01期
江汉石油学院学报

求解最小二乘问题的并行算法及其收敛性分析

本文主要讨论最小二乘问题   minx∈ Rn‖ Ax - b‖ 2 ( 1 )的并行求解方法。式中 ,A是 m× n的实列满秩矩阵 ,m≥ n;b∈ Rn。Dennis等[1] 给出了一种适用于并行处理的广义 SOR串行迭代算法 ,文献 [1 ][2 ]对该串行算法的收敛性作了进一步讨论。为了便于后面的叙述 ...  (本文共3页) 阅读全文>>