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变系数微分方程的常系数化条件

线性微分方程不仅具有广泛的应用,且已形成一套完整的理论,常系数线性方程及其代数解法更是力学、电学及工程技术中的重要解析工具。但在一般的系数激励震动、波导传输理论及其它许多实际应用问题中,还常会遇到一些高阶变系数微分方程,若它们可积,将对有关问题的分析、归纳和应用大有帮助。然而这些高阶变系数微分方程并非都可积,即使可积,如何求它的积分尚无一般方法,通常可利用它的一个已知非零解做未知函数的变换,采用此类方法的前提是要知道一个非零解,如文献[3],文献[4],文献[7],文献[9];或应用幂级数解法,但它对系数函数要求有较强的条件,如文献[6]。笔者采用变量代换、线性化法,讨论将一些变系数微分方程常系数化的条件,从而使其可积,并举例论证。1高阶变系数线性微分方程常系数化条件引理1[1]若在y=Φ(x)z下n阶变系数线性微分方程y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y′+an(x)y=f(x)(ai(x),f(x)∈C,i...  (本文共5页) 阅读全文>>

武汉科技大学
武汉科技大学

二阶变系数线性微分方程的解法

二阶线性齐次微分方程在微分理论中占有重要位置,在科学研究、工程技术中有着广泛的应用,其中有很多应用类型的问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题,而常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的.然而变系数二阶线性常微分方程的求解却十分困难,至今还没有一个普遍有效的方法,通常采用的级数解法只能得到某点领域内的局域解或者近似解,不便于科学研究的分析。因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值。在微分方程理论中,一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究,它们总是可解的.但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程,则该二阶变系数微分方程就可以求解.问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可解的二阶常系数线性微分方程,以及通过什么样的变换才能化为常系数线性微分方程.本文通过对微分方程理论的研究,用不同的方法探讨这类问题,扩展了变系数线性微分方程的可积类型,...  (本文共43页) 本文目录 | 阅读全文>>

《阜阳师范学院学报(自然科学版)》2010年02期
阜阳师范学院学报(自然科学版)

可线性常系数化的二阶常微分方程

0引言在工程和科学技术的实际问题中,常需求解常微分方程,但往往只有少数较简单和典型的常微分方程,如线性常系数常微分方程等可求出其严格解[1],在一般的系数激励震动、波导传输理论及其它许多实际应用问题中,常会遇到一些变系数微分方程或非线性微分方程,变系数常微分方程和非线性微分方程的求解比较困难[2,3],但对于一些特殊的变系数方程如欧拉方程等[4],可以通过适当的变换将其化为常系数方程进而求解,因此将变系数微分方程常系数化具有重要意义。本文利用逆向思维研究了几类线性常系数化的二阶常微分方程,包括变系数常微分方程和非线性常微分方程。1可线性常系数化的二阶常微分方程1.1未知函数的变换有些非常系数的线性微分方程可以化为常系数的线性微分方程,为了找出这些可化为常系数的线性微分方程,假定在常系数方程y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=g(x)(1)(1)中对未知函数或自变量作变换,看看能够得到什么结果。为了简单起见,我们...  (本文共3页) 阅读全文>>

《河北建筑工程学院学报》2007年02期
河北建筑工程学院学报

变系数微分方程的常系数化方法研究

在一般的系数激励震动、波导传输理论及其它许多实际应用问题中,常会遇到一些高阶变系数微分方程,若它们可积,将对有关问题的分析、归纳和应用大有帮助.然而这些高阶变系数微分方程并非都可积,即使可积,如何求它的积分尚无一般方法,通常可利用它的一个已知非零解做未知函数的变换,采用此类方法的前提是要知道一个非零解,如文献[5]、[7];或应用幂级数解法,但它对系数函数要求有较强的条件,如文献[4].笔者采用两种不同类型的变量代换、线性化法,得到了将一类变系数微分方程常系数化方法.1高阶变系数线性微分方程常系数化方法定理1.1若在y=φ(x)z下n阶变系数线性微分方程y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1y'+an(x)y=f(x)(ai(x),f(x)∈C,i=1,2,…n,a1(x)≠0,)(1)可化为常系数方程,则Φ(x)=e∫c-a1n(x)dx,其中c为常量,z是以x为自变量的因变量,证明见文献[1].由此我们可令待定连续函...  (本文共2页) 阅读全文>>

《忻州师范学院学报》2016年02期
忻州师范学院学报

一类变系数三阶线性微分方程求解及Maple实现

1预备知识针对d3ydx3+m(x)·d2ydx2+n(x)·dydx+k(x)·y=0(1)的变系数三阶线性微分方程[1,2],这里的m(x),n(x),k(x)都是区间(a,b)上的连续函数。定理如果m(x),n(x)在(a,b)内是连续的函数,k(x)在(a,b)内有二阶导数,并且对于x∈(a,b),k(x)≠0,那么方程(1)通过t=u(x)进行换元转化成方程d3ydx3+a·d2ydx2+b·dydx+c·y=0(2)的充要条件是:(i)变换为t=∫k(x)()c13dx(3)(ii)m(x),n(x)满足条件:m(x)=a·c-13·k13(x)-k'(x)k(x)(4)n(x)=b·c-23·k23(x)-k″(x)3·k(x)+5(k'(x))29k2(x)-a3·k'(x)·c-13·(k(x))-23(5)n(x)=5(k'(x))29k2(x)-k″(x)3·k(x)(7)则方程(1)利用变换t=u(x)...  (本文共3页) 阅读全文>>

《数学大世界(中旬)》2016年10期
数学大世界(中旬)

几类求解变系数微分方程的方法

在一般的系数激励振动、波导传输理论以及其他实际应用问题中,常会遇到一些高阶变系数微分方程,如,它们的求解没有一般的方法。本文是通过二阶变系数线性微分方程的常系数化解法,推广到三阶变系数线性微分方程,并在求解高阶变系数线性微分方程过程中应用这些方法,进而得到求解的一般方法,从而解决实际应用中的一些问题。特殊的变系数微分方程,欧拉方程(1)其中是常数,且。作变量代换,令,则得即。(2)(2)式即为常系数微分方程,未知函数是自变量为t的函数当方程(1)中无x的项,即,令,则可化为一阶微分方程,该方程为变量分离方程,亦可求解。这里主要采用自变量代换,将欧拉方程化为常系数线性微分方程。下面分别用自变量代换、因变量代换、降阶法进行求解。1.自变量代换对二阶变系数线性微分方程,(3)可以用变量代换的方法求解。定理1:当时,方程(3)可在变换下化为常系数线性方程:。由定理1得如下推论:推论1:三阶变系数线性微分方程:(4)当满足时,令,可将方程...  (本文共2页) 阅读全文>>