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渐近线性的半线性椭圆方程的解集结构

0引言在本文中我们考虑渐近线性的半线性椭圆方程Δu+λ(u-b)2+ε=0 inΩu=0 onΩ(1)其中ΩRn是有界的C2,α区域,并且λ,,εb∈R+及b是固定的.记f(u,ε)=(u-b)2+ε定义F:R+×X×R+→Y为F(,λu,ε)=Δu+λ(u-b)2+ε,其中u∈X={u∈C2,α(-Ω)|u}Ω=0}且Y=Cα(-Ω).在文献[1]中主要讨论了方程(1)最小解、非最小解的存在性及解曲线的渐近状态,有如下三个主要定理:定理1对于任意ε0,当λ∈(0,λ1)时方程(1)有且仅有一个解uλ(·,ε),其中λ1为-Δ在Ω上带有D irich let边值条件的主特征值.定理2对于任意ε0,存在λ*(ε)λ1使得当λ∈(λ1,λ*(ε))时,方程(1)至少有两个解.定理3令Sε为方程(1)的解集,CεSε为其无界部分,如果uλ∈Cε并且‖λλ‖∞→∞,那么λ→λ1.本文将对解集在λ∈(0,λ1)的情形及在拐点解曲线的方向做...  (本文共3页) 阅读全文>>

《上饶师范学院学报(自然科学版)》2006年03期
上饶师范学院学报(自然科学版)

一类半线性椭圆方程的解的凸性

1引言在偏微分方程中,解的凸性的研究已有悠久的历史.最初的时候,研究的是椭圆方程的解的几何性质,R.Gabriel[1]给出了这样的一个结果:在三维凸区域上,格林函数的水平集是严格凸的。在此基础上,J.L.Lewis[2]研究了凸环域上的容度函数满足方程Di(|Du|p-2ui)=0 inΩ,(1.1)他证明了的水平集{x∶u(x)t,0 t0,u0 inΩ,u=0,onΩ.其中Ω是R2中的有界凸区域.在[5],[6],[7],[8]文章中用不同方法证明了当α=0时,u1/2是凹的。在本文中,主要采用形变技术来证明下面的结论。定理1若函数u(x)在凸区域ΩR2上为(1.3)的正解,则当α=32时,u25是凹函数。2形变引理考虑方程△u=f(u,Du)0,inΩR2,(2.1)(1.3)且f是H.o.lder连续的。如果f0,且满足2f2u-fuuf 0,(2.2)即1f(·,Du)是凸的。令H表示u的Hessian矩阵,则有下...  (本文共4页) 阅读全文>>

《哈尔滨师范大学自然科学学报》2006年01期
哈尔滨师范大学自然科学学报

某些半线性椭圆方程组正解的存在唯一性

0引言本文中我们研究半线性椭圆方程组:Δu+λvp1=0,x∈B1,Δv+λwp2=0,x∈B1,Δw+λup3=0,x∈B1,u=v=w=0,x∈B1,(1)其中B1是Rn中的单位球,n≥1,且pi0(i=1,2,3).我们知道通过变换U(y)=u(λ-12y),V(y)=v(λ-12y),W(y)=w(λ-12y),可以把方程组(1)转化为ΔU+Vp1=0,y∈BR,ΔV+Wp2=0,y∈BR,ΔW+Up3=0,y∈BR,U=V=w=0,y∈BR,(2)其中BR是Rn中以y=0为中心R=λ为半径的球.由于方程组(1)与方程组(2)解集的结构性质相同,所以我们只需考虑方程组(2)的解即可.定理1假设pi0(i=1,2,3),且存在λ00使得方程组(1)有一个正径向对称解(uλ0,vλ0,wλ0).则有1·当1-p1p2p3≠0时,则对任意的λ0,方程组(1)相应地存在一个正径向对称解(uλ,vλ,wλ).2.当1-p1p2p3...  (本文共4页) 阅读全文>>

《东北师大学报(自然科学版)》2015年04期
东北师大学报(自然科学版)

一类退化半线性椭圆方程支配系统的最优控制条件

1问题的提出1986年E.Casas在文献[1]中研究了一类带有第一类边界条件的线性椭圆方程的最优控制问题,从而开始了椭圆系统的最优控制问题研究.随后J.F.Bonnans和D.Tiba等人先后在文献[2-4]中研究了半线性椭圆系统的最优控制问题.伴随着近年来对退化半线性椭圆方程研究工作的不断开展[5-8],退化半线性椭圆系统的最优控制问题逐渐成为一个新的研究课题.本文讨论退化半线性椭圆方程支配的系统-div(a(x)Δy(x))=f(x,y(x),u(x)),x∈Ω;y(x)|Ω=0{.(1)其中ΩRn(n≥2)是具有光滑边界Ω的有界区域.x∈Ω,控制函数u(x)∈U,而U为Rm中的有界闭集.作如下假设:(P1)a(·)∈C(Ω),a(x)≥0,a(x)|Ω0,meas x{|a(x)=0}=0,且∫Ω1a(x())rdxn.(P2)f:Ω×R×U→R满足:(y,u)∈R×U,f(·,y,u)是有界可测的;(x,...  (本文共6页) 阅读全文>>

《湖北文理学院学报》2013年11期
湖北文理学院学报

一类带非线性边界的半线性椭圆方程组的多个解

本文考虑如下半线性拉普拉斯方程组2222()||,||()||,||1 1()(,),()(,),ppu vuu u f x u u xxvv v g x v v xxu vh x F u v h x F u v xn q n q(1)解的存在性,其中是N R是带光滑边界的有界区域且0,n是外法向量,2202N≤,N≥3,*21 2 22Np qN(22NN是Sobolev临界指标),参数2(,)R\{(0,0)},函数F和权函数f,g,h满足以下条件:(H1)f,g L(),其中qq p,并且f max{f,0}0或者g max{g,0}0;(H2)h C()且|h|1和h max{h,0}0;(H3)1 2F C(R,R)是q-齐次函数,即对2(u,v)R,当t 0,(,)(,)qF tu tv t F u v;(H4)2(u,v)R,(,0)(0,)(,0)(0,)u vF u F v F u F v;(H5)(,),(,...  (本文共7页) 阅读全文>>

《曲阜师范大学学报(自然科学版)》2012年04期
曲阜师范大学学报(自然科学版)

一类四阶半线性椭圆方程的无穷多解

1引言本文中,我们考虑如下方程Δ2 u+cΔu=f(x,u),inΩ,u=Δu=0,onΩ{,(1.1)其中Δ2是双调和算子,Ω瓗N是具有光滑边界的有界区域,c2,R0,使得x∈Ω,|s|≥R00(x∈Ω),则如下特征值问题Δ2u+cΔu=μu,inΩ,u...  (本文共5页) 阅读全文>>