分享到:

微分方程组dx/dt=y,dy/dt=Q_3(x,y)的极限环

本文讨论微分方程组=y(1)=Yx+6y+a 1 xZ+a:xy+。3v,+a;x3+a:xZy+a6xyZ+a7y3dx一dt打一dt了几Jl了t \的极限环之若干存在和唯一性条件。当仅有一个奇点时,1964年我们曾作过讨论,其中部份结论与文〔1〕一致。本文就(l)有两个和三个奇点的情况,讨论极限环的存在与唯一性,并讨论(1)的二次和三次代数曲线解与极限环的存在性的关系。 引入记号:g(x)二一(一八卜l卜︸︸一=ylt.0﹁.d盆3 a. f(x,y) G(x)此时可表示为: dx ~不二y,又设a‘x”+a:xZ+丫x)(aoxZ+.。xy+a7yZ+.:了+asy+6) ,一、,一/1__‘.1__3 .1‘,_。、g(x)d‘=一t牛a‘X心+喜.lx刁+斗YxZ)。、一、4’一3‘’2’一/二一g(x)一f(x,y)了i一2 t1一21一2 1.5气二..6 ‘.6 .7 ai一2 1_二~二二~.久0 Z一r注|1...  (本文共7页) 阅读全文>>

《数学学报》1959年02期
数学学报

方程组■的极限环线的位置

亏1.简题方程粗贵一。、系‘,一}贵一。‘燕‘2‘窟七’一,友’(EZ)的Hilbert朋题包括两部分,郎简(EZ)在全平面上最多有几个极限环援及宅俩的位爱(它俩如何分布). 在一篇独具风格的渝文川中,neTpoBcK“盆及月aH八HC用剧兑的方法以惊人的气魄处理了方程粗〔几),得到了(几)的极限环修在釜平面上最多有三个的桔果. 本文是「2]L的批疲,目的是封渝方程祖(EZ)的极限环换的位者,把它俩的拓撰分布咫题抬以最后的解决. 我俩现在的简题是:殷方程粗(几)有三个极限环修,以砍(i二1,2,3)表之,以I,表比之补集:(乙{)之有界分量,周位置 I‘nl,=o,I;门I,羊o (i手i羊左=,,i,i,反=1,2,3)是否存在.。 我俩的解决是:它是存在的.52.解决考虑方程粗=王(:,夕,8)=X(:,y)eoss一Y认,y) sin口,=匀(、,夕,夕)=欠(二,y)sins+y任,y)cos口,!{(E。)(1)丫︸t...  (本文共14页) 阅读全文>>

《数学进展》1962年02期
数学进展

极限环问题

务1.’研究极限环的重要性所捐极限环就是平面定常系就 立一尸(x,,),立一夕(x,y)(l) Jt Jt的孤立阴轨核,‘它附近的救梭当‘一oo或一co时都以螺旋状方式向它无限接近.H.Poincar6[,,z1首先发现极限环是非筱性系扰所特有的一种勒拔,并找到研究极限环的三种重要方法,郎地形系法,后糙函数法和小参数法.的确,就平面定性理渝的观点看来,要搞清楚不可积分的一阶非拔J性方程的积分曲拔的全局拮构,·那末研究极限环简题是有着非常重要的意义的.因为研究积分挂的全局拮构,无非就是要解决下面三个阴题:1)奇点附近的积分曲技的精构,2)握过奇点的分界拔的去向,3)极限环是否存在,有几个?也弄就是由于这个原因,在Poincar己的渝文发表不到二十年,D.Hnbert就把极限环简题列为他所提出的一系列数学周题中的第十六个[3].这简题的一半是:当(l)式右方的尸(x,力与口(x,刃是x,y的不高于。次的多项式时,它最多能有几个极限环...  (本文共19页) 阅读全文>>

《数学学报》1964年03期
数学学报

证明极限环存在与唯一性的φилиппов方法

在关于van der Pol型方程分+f(x)分+g(x)一。(满足通常的条件劣g(二)o当二矜0)的极限环存在周题的研究中,A.中.中朋朋noB[4]得到了比较好的桔果.他所用的方法也是独特的.本文利用这个方法到极限环的唯一性以及更广泛一类方程极限环的存在性咫题中去,得到了一些新的拮果. 在马l中我们考虑方程分十f(:)分+x~0的极限环的唯一性,推广了G.sanso。的定理[3],得到一个保敲唯一性的充分条件. 在唇2中研究了具有一个鞍点和一个焦点或精点的一般方程分+才(幻分+g(幻~0(不满足条件粉(劝0当x笋的的极限环的存在性,也得到一个充分条件.这个周题曾被G. Sansone与R. Conti研究过[3J,但是他们没有能够把存在性条件做到最释的形式.亏1.唯一性定理已抬微分方程dZx.,,、注劣.八-一二,十r又劣少—十万~U。dt‘’一dt(i)于没殷: ].o.f(二)速疲;f(o)o当卜{睿0.弓,入Li‘na...  (本文共10页) 阅读全文>>

《数学学报》1977年04期
数学学报

证明极限环不存在的新方法及其应用

本文提供一个证明极限环(有时也可以是闭轨线)不存在的新方法.其特点在于用到极限环之定向概念.我们的主要目的是阐述这个方法,而在将它应用于平面上的定常二次系统时不追求具体结果的完整性. 考虑系统粤一;(x,,),李一口(x,,).峥t路t(E)这里假定尸,Q具一阶连续偏导数. 用T表示系统(E)的极限环;D(r)表示由r所围成的有界区域;续偏导数的二元函数类.一个熟知的判别系统(E)无极限环的方法是法,它依据下述原理:若系统(E)有极限环r,则对任意B(x,力〔cl,只)!会(“·)十奇(“口’dxdy~OC’表示具一阶连Bendixson一Dulae方都有 (l) 现在我们将极限环的定向概念引进于其中,导出一种判别极限环不存在的新方法. 用L丫(G)表示具下述性质的二元函数类:在区域G中,它或者恒为零,或者常正—但其零点无闭分支于G中;同时还具连续的一阶偏导数.我们的方法依据下列原理: 基本定理若在某一单连通区域G中,系统(E)...  (本文共4页) 阅读全文>>

《数学学报》1979年06期
数学学报

二次系统极限环的相对位置与个数

·本文研究二次系统心。/:—~一rZ、才dt立_~JtQz(x,y)(1)中的孔(x易,)与仇(‘·,)为‘·’,的二次多项式‘文川’曾指终系统(l)最多有三个指标为+l的奇点,且极限环只可能在两个指标为’十l的奇点附近同时出现.如果方程(l)的极限环只可能分布在一个奇点外围,我们就说此系统的极限环是集中分布的.本文主要研究具非粗焦点的方程(l)的极限环的集中分布问题,,和极限环的最多个数问题.文【21,【51曾证明,当方程(l)有非粗焦点与直线解或有两个非粗焦点或有非粗焦点与具特征根模相等的鞍点时,方程(l)无极限环‘本文给出方程(l)具非粗焦点时,极限环集中分布的若干结论.如果具非粗焦点的方程(,l)的奇点个数多于2,我们证明极限环只可能集中分布在一个焦点外围.如果方程(l)仅有两个奇点,一是非粗焦点,一是粗焦点,我们证明(l)可以在两个奇点外围同时出现极限环.然后证明(l)的系数略略变动一下,就可以使原来的非粗焦点外围出现...  (本文共8页) 阅读全文>>