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数学分析中难点教学探讨

数学分析是数学系的主干基础课,它的教学时间长、课时多。它是进一步学习常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论与数理统计等后继课程的阶梯,也为深人理解中学数学打下必要的基础。 在数学分析的教学中,学生最感困难的是如何掌握一些重要且抽象的新概念,如极限概念、定积分概念、一致收敛概念等,以及如何掌握基础理论所必须的较长、较难的定理的证明,如实数连续性的六个等价定理、闭区间上连续函数的基本性质定理、隐函数定理等。若能在数学分析教学中突破这两个难点,无疑对提高教学质量会起到良好的作用。 在讲授新概念时要层次分明,必须让学生明确建立数学新概念的方法、步骤。任何新概念的建立都可以用如下六个步骤来完成:(1)新概念的地位、作用和产生的背景,(2)有什么例子(特别是典型引例);(3)如何抽象成数学模型并正确理解它,(4)有哪些性质;(5)怎样计算;(6)有哪些应用。下面仅以数列的极限为例来说明怎样运用以上六个步骤来突破难点概念。①、〔勇 首先介...  (本文共6页) 阅读全文>>

《陕西师大学报(自然科学版)》1987年03期
陕西师大学报(自然科学版)

从拓扑学观点分析隐函数定理

十九世纪的数学家针对以前存在的问题—缺乏逻辑性、严密性,从而开展了数学分析算术化运动.到廿世纪初,数学分析已成为严密的逻辑系统.但自从“公理化”方法在数学中普遍成功地建立以及代数、拓扑等已和集论一起添加到数学各分支的基础中以后,分析的“算术化”已失去必要性.事实上,拓扑学才是研究连续映射(函数)的一般理论.尽量吸收拓扑观点、方法乃是数学分析教材现代化的重要方面.本文就一元隐函数情形作一些讨论. 国内流行的关于这一定理的证明首先是〔1〕(或〔2〕、〔3〕)中给出的“纯分析”的证法,这个优秀的论证有其时代的背景,如对直观推导的警惕,与其它分支之间保持独立,不得渗透等等.现在这些情况已成为历史,这就迫使人们探索一种新的论证,以使整个教材更为协调. 再如〔4〕〔5〕中用不动点原理的证法(须有一定的泛函素养)是很好的,但对我国学生还不适宜.同样,在〔6〕、〔7〕中所给的证法,由于用到较深的予备知识,又要求较高的抽象能力,显然也不宜纳入教材...  (本文共6页) 阅读全文>>

《重庆大学学报(自然科学版)》1988年01期
重庆大学学报(自然科学版)

一个隐函数定理

〔豆〕中定理1推广了(幻中定理3.豆,现在我们将[1〕中定理1再推广成如下更广泛的形式。 定理 l,设X,Y,Z是Banach空间,D是X x Y中开集,F(x,x):D、Z连续,(x;,y。)ED,设在(X。,y)的某邻域: D。={(。,y);I卜一x。I【一JX。》一*x;尸(x。,扒X。》+ 十J劣l厂(xl,g(12》3I+IE S劣;尸(x。,g(。》一S嚣。F(X。,g(x。》3E0使得 11入/(X;)-y)-凡(/(。。)-y)-厂厂。(闪-。。)IZ0使得 1卜-S。T。。I!0,u二0,e+uCI 4.S。(f(。)-y)=x-广‘(x)固定x时关于y连续。口 推论2,设K和厂是Banach空间刀是X中开集,f。*=*+厂连续,x。〔D,y。=j(x。),则y=jk)是X和厂在X。处局部同胚的...  (本文共3页) 阅读全文>>

《扬州师院学报(自然科学版)》1988年Z1期
扬州师院学报(自然科学版)

隐函数定理的一个推广

众所周知,隐函数定理是分析中的一条重要的基本定理,有着十分广泛的应用.但由于此定理给出的判别隐函数存在的条件是充分不必要的,因而也具有较大的局限性.例如,形式 I上很简单的函数F(x,妇=x一,3,明显地它确定了隐函数y=x‘/3,但由于F,(0,0)=O,故不能利用隐函数定理判定是否在(O,0)附近存在隐函数y二厂(x).木文试图对隐函数定理进行一适当的改进,使之适应范围较大一些. 定理1若函数Z=F(二,岁)在以点(x。,互。)为心的矩形区域D{}x一x。!(a,}y一刀。!0与夕。,在区间刁二(x。一占,x。十占)内存在唯一使F〔x,f(x)〕二0,了(x。)=y。,y。一口0.再由条件(“),函数F;:++护(x,,)故存在以点(x。,y。)为心的矩形域R{x。一a(x落x0+a,夕。一夕簇g提g。+夕}(R‘D)对任意(劣,妇任R,有F;:++犷(二,妇0,从而知一函数厂:,(、,,)在闭区间〔,。一夕,;。、们上严格...  (本文共4页) 阅读全文>>

《吉首大学学报(自然科学版)》1989年01期
吉首大学学报(自然科学版)

用区域收缩算法构造证明隐函数定理

一,引 言 设X是实Banach空问,D5X是一个集合。 考虑算子方程Fz:O z∈D (1.1)的可解性与求解方法,其中F:D—x是某一给定的非线性算子。游兆永、徐宗本运用T·E WilLiamson.Jr, (1)对于压缩算子所运用的几何估计思想,建立了一类新的逼近思想…区域分析方法(2],以统一的处理方程(1.1)的可解性羚断与构造方法,提出了区域收缩算法。该算法有自动诊别解的存在性,迭代自适定性,自动累计误差和弱条件收敛等突出特点,而从此为基础的区域分析方法能概括常用的压缩映象方法、优界方法,单调性方法和区问方法等熟知的非线性问题分析方法,并且提出了区域分析方法对非线性映象构造可能性的应用问题,希望对某些著名的存在定理给出构造性证明. 本文针对[2]提出的问题,用区域分析方法提出一种新的隐函数定理,并用区域收缩算法给出构造性证明,把经典隐函数定理作为推论,在较弱的条件下,得到它的构造性证明。二、基本概念及性质 考虑,l维...  (本文共5页) 阅读全文>>

《郑州铁路职业技术学院学报》2002年03期
郑州铁路职业技术学院学报

弱多元隐函数定理及其推广

在微积分学教程中 ,有关隐函数的系列定理是其中的一个重要组成部分。它不仅是一个教学重点 ,而且也是一个学习上的难点。通常的微积分学教程中 ,一般只详细讨论一元隐函数的系列定理 ,而且把隐函数解析性质的讨论常常综合成一个多条件和多结论的大定理 ,这不仅提高了学习这个定理的难度 ,而且对隐函数定理的核心内容也不易掌握。本文的目的是一般的介绍弱化条件的多元隐函数定理 ,特别着重讨论隐函数的存在性 ;事实上 ,只要这个核心问题解决了 ,那么对隐函数一系列的解析性质的讨论 ,将会触类旁通 ,迎刃而解。(一 )定理及隐函数存在性证明定理 1 :设 ( 1 )函数F(x1 ,x2 ,…xn,y)在点P0 (x1 0 ,x2 0 …xn0 ,y0 )为中心的某个邻域内有定义且连续 ;( 2 )函数F(x1 ,x2 ,…xn,y)在P0 点等于零 ,即F(x1 0 ,x2 0 …xn0 ,y0 ) =0 ;( 3)当x1 ,x2 ,…xn 为常数...  (本文共3页) 阅读全文>>