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关于矩阵的Jordan标准形问题

本文目的在于探讨矩阵Jordan标准形的推导方法和变换矩阵的计算,大家知道,Jordan标准形既可以用几一矩阵的理论来得到,也可以用几何方法来得到〔1〕【2]。本文将给出一种推导方法,其思路接近于后者,但做法比较直接,推导过程亦比较简单。在此基础上,还讨论了求Jordan标准形和相似变换(将矩阵变为Jordan标准形)矩阵的具体步骤。 本文所提到的矩阵都是复数矩阵。一、若干“引理引理1设几,为nx。矩阵A的k,重特征值,则月格似于上三角矩阵、.lll.es..esee.eseses.*;.f·l,,,··!*氏一\、、、、、、、 \\\ +\、\a&j︸\、击*\、 \、月凡/盯les.lseeseeeseewesees-/其中主对角线上共有k,个几J;a‘今几,,i二k,+1,…,。;而“*”表示可以不为零的数(下同)。 证对矩阵的阶数作归纳法。在阶数为1时引理显然成立.假设对一切阶数为n一1的矩阵引理成立,我们来证对任一阶数...  (本文共11页) 阅读全文>>

陕西师范大学
陕西师范大学

特殊分块矩阵的Jordan标准形与矩阵等式A~-+B~-=A~-(A+B)B~-的相关性质

矩阵理论作为数学的一个重要分支,具有极为丰富的内容,它为数学领域及其他科学领域提供了有用的工具.在矩阵理论的研究过程中,矩阵的标准形问题占有重要的地位,在力学、控制理论、系统分析等领域有着广泛的应用,因而讨论特殊分块矩阵的Jordan标准形是非常有意义的.矩阵的广义逆是矩阵理论的一个重要组成部分,特别是关于广义逆的一些等式和不等式,引起了许多学者的关注,那么讨论关于矩阵的广义逆的等式A-+B-=A-(A+B)B-也是非常有必要的.本文讨论了四种特殊分块矩阵的Jordan标准形,并且应用其结果给出了一个定理的简化证明.另外,探讨了与矩阵等式A-+B-=A-(A+B)B-等价的相关问题.第一章,首先给出了本文中涉及的一些数学符号并回顾了Jordan块Jordan标准形和一个n阶矩阵的k阶行列式因子的基本概念及两个矩阵的Kronecker积与一个矩阵的广义逆矩阵的定义;接着,介绍了矩阵理论中的几个重要定理.第二章,用数学归纳法证明了四...  (本文共41页) 本文目录 | 阅读全文>>

《赤峰学院学报(自然科学版)》2013年11期
赤峰学院学报(自然科学版)

关于矩阵Jordan标准形研究性教学的探讨

矩阵的Jordan标准形是线性代数的中心结果之一,不仅在矩阵理论与计算中起着十分重要的作用,而且在控制理论、系统分析、力学等领域中也是一个非常重要的工具.由于Jordan标准形涉及到相似、Jordan块,计算又用到初等因子,这使得大多学生感到晦涩难懂不易理解.在当今大学提倡研究型教学的形势下,教师在讲授Jordan标准形的同时,让学生接触一些它的性质和应用,可加深学生对Jordan标准形这一经典理论的理解,为后继研究学习奠定基础.结合教学与科研工作体会,本文从为什么研究矩阵特征Jordan标准形、怎么研究及其应用等方面给出了矩阵Jordan标准形研究性教学的几点体会.1为什么研究矩阵Jordan标准形我们知道,相似矩阵有相同的迹、行列式、特征多项式和特征值,但反之不一定成立.另外,两个看上去很不相同的矩阵仍可以相似,从而引出这样一个问题:在什么情况下两个矩阵相似?一个比较自然的想法是:设想有某个具有指定形式的“简单”矩阵的集合,...  (本文共3页) 阅读全文>>

《长治学院学报》2014年05期
长治学院学报

关于矩阵的Jordan块与特征值的代数重数和几何重数的探讨

1引言设λi是n级复数矩阵A的ki重特征值,对应有Si个线性无关的特征向量,则称ki为λi的代数重数,Si为λi的几何重数,恒有1《Si《ki,也即一个矩阵的特征值的几何重数一定小于等于它的代数重数。文章主要利用矩阵的Jordan标准形来进一步研究矩阵特征值的几何重数与代数重数之间的关系。2主要结果及证明每个n级的复数矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似,这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的,它称为AJordan标准形[1]346-352。设n级复数矩阵A的Jordan标准形为:J=!####"####$%####&####’,其中,Ji=!########"########$%########&########’,那么λ1,λ2,…λs为A的Jordan标准形J的所有的特征值(其中λ1,λ2,…λs可能有相同的),又因为两个相似矩阵具有相同的特征值,所以λ1,λ2,…λs也是矩阵A的所有...  (本文共2页) 阅读全文>>

《课程教育研究》2017年08期
课程教育研究

浅析“翻棋”游戏与数学中的转化分类和标准形

众所周知,所有的整数能够被分成奇数和偶数两大类,我们也经常选0作为偶整数这一类的代表,选1作为奇整数这一类的代表。我们这里,尝试使用一种对角线“翻棋”游戏作为研究对象,向同学们说明转化,分类,确定标准型这一深刻的数学思想。一、1×1方格和2×2方格为了方便描述,对于n×n方格中的一个格子,如果其从上往下数位于第i行,从左往右数位于第j列,那么我们就将其编号为(i,j)。称第1行、第n行、第1列和第n列中的方格组成的圈,为n×n方格的边界。如果(i,j)是边界中的一个方格,那么我们说由(i,j)开始,从左上往右下的对角线为(i,j)-主对角线;由(i,j)开始,从右上往左下的对角线为(i,j)-反对角线。3×3方格里面9个棋子,每个棋子正反面又分别有黑白两种颜色,这样对应的图形将会产生29(=512)种可能情况,似乎太多了点。我们先来考虑1×1方格和2×2方格两种较为简单的情况吧。很容易看到1×1方格只有一个格子,里面棋子如果是正...  (本文共1页) 阅读全文>>

《数学教学研究》2011年05期
数学教学研究

线性方程组的解法及矩阵的等价标准形

矩阵的等价标准形与线性方程组的理论是线性代数课程的重要内容一般教科书都是利用对增广矩阵作初等行变换来求线性方程组的解.陈必红在文献[1]中给出了利用对增广矩阵作初等列变换求解线性方程组的方法.本文提出了对增广矩阵做初等变换,便可求出线性方程组的解,同时还可求出系数矩阵的等价标准形.定理1设齐次线性方程组A。、,X一。,对子块A作初等变换使A化为等价标准形D引理2〔2」设态x,的列向量为a,,a:,…、.则非齐次线性方程有解当且仅当存在一组数kl,k:,…,k,,使得b=k:al+kZa:+…+koa,.定理3设非齐次线性方程组A袱。X~b,那么1)当利用A的列向量,通过第3种初等列变换,不能将b化为零向量时,则态、,X一b无解. 2)当利用A的列向量,通过第3种初等列变换,能将b化为零向量时,则A。、,X一b有解.这时,做第3种初等列变换,使b化为O,办nUA几0qIr oq只!.饥了们以飞争7护了了..、、、了少.‘、、对子块...  (本文共2页) 阅读全文>>

《数学通报》1965年06期
数学通报

方陣相似标准形

、、屯..甲产 zazaa/了才忿..、、、 一一 功 口 了J 关于复数域中方阵的相似标准形间题,一般的线性代数教程中都采用以下两种处理方法.*种是几何的方法,即考虑线性变换的根子空间分解与循环子空间分解.本刊1 964年第9期所载H.Reichardt一文,即属于此一类型.另一种是先建立多项式系数矩阵的相抵分类理论,然后再在这个基础上导出复方阵的相似标准形. 从教学的角度看来,此二种耕法各有其不利之处.前者较抽象,不易为初学者所掌握,目前教学中已很少采用.后一种盼法有一系列的好处,但仍嫌不够值接,使初学者得到由远及近的感觉. 考虑到开始阱授方阵相似分类间题之前,学生已经学过矩阵相抵、对称方阵相合等问题,对方阵的初等变形、分块运算等已经比较熟悉,我们觉得一个比较好的办法是:先利用这些已有的工具值接得出复数域中方阵的相似标准形,证明其唯一性,看出相似分类问题中何者应起全系不变量的作用,然后再引入初等因子理论二这样的耕法和前面关于...  (本文共6页) 阅读全文>>