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关于矩阵的Jordan标准形问题

本文目的在于探讨矩阵Jordan标准形的推导方法和变换矩阵的计算,大家知道,Jordan标准形既可以用几一矩阵的理论来得到,也可以用几何方法来得到〔1〕【2]。本文将给出一种推导方法,其思路接近于后者,但做法比较直接,推导过程亦比较简单。在此基础上,还讨论了求Jordan标准形和相似变换(将矩阵变为Jordan标准形)矩阵的具体步骤。 本文所提到的矩阵都是复数矩阵。一、若干“引理引理1设几,为nx。矩阵A的k,重特征值,则月格似于上三角矩阵、.lll.es..esee.eseses.*;.f·l,,,··!*氏一\、、、、、、、 \\\ +\、\a&j︸\、击*\、 \、月凡/盯les.lseeseeeseewesees-/其中主对角线上共有k,个几J;a‘今几,,i二k,+1,…,。;而“*”表示可以不为零的数(下同)。 证对矩阵的阶数作归纳法。在阶数为1时引理显然成立.假设对一切阶数为n一1的矩阵引理成立,我们来证对任一阶数...  (本文共11页) 阅读全文>>

陕西师范大学
陕西师范大学

特殊分块矩阵的Jordan标准形与矩阵等式A~-+B~-=A~-(A+B)B~-的相关性质

矩阵理论作为数学的一个重要分支,具有极为丰富的内容,它为数学领域及其他科学领域提供了有用的工具.在矩阵理论的研究过程中,矩阵的标准形问题占有重要的地位,在力学、控制理论、系统分析等领域有着广泛的应用,因而讨论特殊分块矩阵的Jordan标准形是非常有意义的.矩阵的广义逆是矩阵理论的一个重要组成部分,特别是关于广义逆的一些等式和不等式,引起了许多学者的关注,那么讨论关于矩阵的广义逆的等式A-+B-=A-(A+B)B-也是非常有必要的.本文讨论了四种特殊分块矩阵的Jordan标准形,并且应用其结果给出了一个定理的简化证明.另外,探讨了与矩阵等式A-+B-=A-(A+B)B-等价的相关问题.第一章,首先给出了本文中涉及的一些数学符号并回顾了Jordan块Jordan标准形和一个n阶矩阵的k阶行列式因子的基本概念及两个矩阵的Kronecker积与一个矩阵的广义逆矩阵的定义;接着,介绍了矩阵理论中的几个重要定理.第二章,用数学归纳法证明了四...  (本文共41页) 本文目录 | 阅读全文>>

《哈尔滨师范大学自然科学学报》1990年20期
哈尔滨师范大学自然科学学报

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式

1特征值的代数重数与几何重数复数域上的任意一个n阶矩阵A,恰有n个特征值λ1,λ2,…,λn,它们是A的特征多项式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)的n个零点.不妨假设,矩阵A的互异特征值为s个(1sn).于是,特征多项式可以写成|λE-A|=(λ-λ1)n1(λ-λ2)n2…(λ-λs)ns式中的ni(i=1,2,…,s)称为特征值λi的代数重数.显然有以下关系1nin(i=1,2,…,s),si=1ni=n记矩阵A-λiE的秩rank(A-λiE)=ri,则0rin-1(i=1,2,…,s)而且,矩阵A-λiE的核空间是n-ri维的,特征值λi对应矩阵A的n-ri个线性无关的特征向量.记n-ri=gi,并称gi为特征值λi的几何重数.显然,有不等式1gini(i=1,2,…,s)记所有特征值的几何重数之和si=1gi=g,则有不等式1sgn.2Jordan标准形的构成任意一个n阶矩...  (本文共5页) 阅读全文>>

《工科数学》1950年30期
工科数学

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式叶介英(内蒙古工业大学)矩阵的相似标准形及其过渡矩阵是矩阵理论的重要内容,在理论研究和工程技术中都有广泛的应用。任意方阵A,总存在可逆矩阵P,经过相似变换P-’AP,可以得到A的JOO巾11标准形。这种过渡矩阵P不是唯一的,而是有无穷多个。但在各种教科书、参改书以及专著中.部门求其中的某一个。本文讨论的是过渡矩阵的一般形式,它在理论上、教学上都有一定的意义。一、特征值的代数重数与几何重数复数城上的任意一个n阶矩阵A,恰有,;个特征值人,人,…,人,它们是A的特征多项式【人E一AD一(人一人)(人一人卜··(人一人)的n个零点。不妨假设,矩阵A的互异特征值为s个(1<s<n),则特征多项式可以写成uE一川一(k一ArI(A一人)”。…(A一人)”。,式中的。;(J一1,2,…,S)称为特征值人的代数重数。显然有下列关系l<。。;<n(,一1,2,…,s),z,。;一。。。i一1记矩阵A一...  (本文共5页) 阅读全文>>

《数学理论与应用》2004年02期
数学理论与应用

求矩阵A的Jordan标准形的另一方法

1 引 言求n阶矩阵的A的Jordan标准形的普通方法是先求出A的初等因子,然后得到A的Jordan标准形.然而A的初等因子一般不易求得,所以普通方法应用起来有一定难度.本文介绍求矩阵A的Jordan标准形的另一方法:假设(λi 是矩阵A的特征值,若得到:rank(λi E - A) =Si1 ,rank(λi E - A) 2 =Si2 ,…,rank(λi E - A) li =Sili,rank(λi E - A) li+1 =Sili,且Si1 Si2 …Sili,则可求出矩阵A对应于λi 的Jordan块的阶数和个数.2 基本概念与主要结果定义1 假设|λE - A| =ΠSi=1 (λ-λi) mi,其中λ1 ,λ2 ,…,λs,为A的互异特征值,mi是正整数且∑si=1mi=n,则mi称为特征值λi的代数重复度;若rank(λi E - A) =n -αi,则αi称为特征值λi的几何重复度,1≤i≤s.定义2 假设...  (本文共4页) 阅读全文>>

《绵阳师范学院学报》2016年05期
绵阳师范学院学报

矩阵的Jordan标准形及其应用

矩阵的标准形理论是矩阵理论中的主要研究内容.化矩阵为标准形的理论与方法已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式和数量关系的有力工具,同时也是现代数学其他学科[1-3]必不可少的基础知识.矩阵的标准形不仅具有结构简单、易于计算等优点,而且还包含了该矩阵的几乎所有的信息,比如秩、特征值、线性无关的特征向量的个数及特征子空间的维数等.然而,在常用的高等代数的教材中,仅涉及矩阵相似对角化的相关理论,而对于不能进行相似对角化的矩阵,如何寻找一个可逆矩阵将其化为Jordan标准形,或如何快速准确的计算出其Jordan标准形却很少给予的系统讨论,作者在长期的教学实践中,参阅相关文献[4-7],得到和总结了关于Jordan标准形的系列性质,并对计算Jordan标准形常用的易于大家掌握的四种方法进行整理、总结和对比,以期对读者有所帮助.1基本概念及性质定义形如Ji=λi1λi1λ????????????iri×ri(1)的矩阵称为ri阶J...  (本文共5页) 阅读全文>>

《大学数学》2007年04期
大学数学

Jordan标准形过渡矩阵求法的补充条件

对于复矩阵A,存在满秩的n阶复矩阵T使T-1AT=J是Jordan标准形.如果把A热视为Cn的线性变换,T热就是从Cn的标准基到使该线性变换的矩阵取J的基的过渡矩阵,T的列向量就是这个基,称为Jordan基.它由若干个Jordan链构成,每一个链的终端是A的一个特征向量.计算T的经典方法非常烦琐[1],在我国的教科书中几乎没有介绍.另一个广泛采用的方法是:把T的元素视为未知数,AT=TJ便是一个矩阵方程,并可以按T的列向量写成n个线性方程组.Jordan标准形保证这些方程组有解.而从A的全部线性无关的特征向量逆推出来的任何Jordan链正是这些方程组的线性无关的解向量,它们按顺序排列起来就是T[2,3].然而Jordan标准形定理的种种证明都没有涉及到T的求法,因此这个方法没有直接的理论支持.本文的研究表明这个方法在理论上并不成立,它只能在两种特殊条件下成立.1反例求矩阵A=1 2 1 1 10 1 1 2 10 0 1 1 0...  (本文共4页) 阅读全文>>