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关于矩阵的Jordan标准形问题

本文目的在于探讨矩阵Jordan标准形的推导方法和变换矩阵的计算,大家知道,Jordan标准形既可以用几一矩阵的理论来得到,也可以用几何方法来得到〔1〕【2]。本文将给出一种推导方法,其思路接近于后者,但做法比较直接,推导过程亦比较简单。在此基础上,还讨论了求Jordan标准形和相似变换(将矩阵变为Jordan标准形)矩阵的具体步骤。 本文所提到的矩阵都是复数矩阵。一、若干“引理引理1设几,为nx。矩阵A的k,重特征值,则月格似于上三角矩阵、.lll.es..esee.eseses.*;.f·l,,,··!*氏一\、、、、、、、 \\\ +\、\a&j︸\、击*\、 \、月凡/盯les.lseeseeeseewesees-/其中主对角线上共有k,个几J;a‘今几,,i二k,+1,…,。;而“*”表示可以不为零的数(下同)。 证对矩阵的阶数作归纳法。在阶数为1时引理显然成立.假设对一切阶数为n一1的矩阵引理成立,我们来证对任一阶数...  (本文共11页) 阅读全文>>

陕西师范大学
陕西师范大学

特殊分块矩阵的Jordan标准形与矩阵等式A~-+B~-=A~-(A+B)B~-的相关性质

矩阵理论作为数学的一个重要分支,具有极为丰富的内容,它为数学领域及其他科学领域提供了有用的工具.在矩阵理论的研究过程中,矩阵的标准形问题占有重要的地位,在力学、控制理论、系统分析等领域有着广泛的应用,因而讨论特殊分块矩阵的Jordan标准形是非常有意义的.矩阵的广义逆是矩阵理论的一个重要组成部分,特别是关于广义逆的一些等式和不等式,引起了许多学者的关注,那么讨论关于矩阵的广义逆的等式A-+B-=A-(A+B)B-也是非常有必要的.本文讨论了四种特殊分块矩阵的Jordan标准形,并且应用其结果给出了一个定理的简化证明.另外,探讨了与矩阵等式A-+B-=A-(A+B)B-等价的相关问题.第一章,首先给出了本文中涉及的一些数学符号并回顾了Jordan块Jordan标准形和一个n阶矩阵的k阶行列式因子的基本概念及两个矩阵的Kronecker积与一个矩阵的广义逆矩阵的定义;接着,介绍了矩阵理论中的几个重要定理.第二章,用数学归纳法证明了四...  (本文共41页) 本文目录 | 阅读全文>>

《赤峰学院学报(自然科学版)》2013年11期
赤峰学院学报(自然科学版)

关于矩阵Jordan标准形研究性教学的探讨

矩阵的Jordan标准形是线性代数的中心结果之一,不仅在矩阵理论与计算中起着十分重要的作用,而且在控制理论、系统分析、力学等领域中也是一个非常重要的工具.由于Jordan标准形涉及到相似、Jordan块,计算又用到初等因子,这使得大多学生感到晦涩难懂不易理解.在当今大学提倡研究型教学的形势下,教师在讲授Jordan标准形的同时,让学生接触一些它的性质和应用,可加深学生对Jordan标准形这一经典理论的理解,为后继研究学习奠定基础.结合教学与科研工作体会,本文从为什么研究矩阵特征Jordan标准形、怎么研究及其应用等方面给出了矩阵Jordan标准形研究性教学的几点体会.1为什么研究矩阵Jordan标准形我们知道,相似矩阵有相同的迹、行列式、特征多项式和特征值,但反之不一定成立.另外,两个看上去很不相同的矩阵仍可以相似,从而引出这样一个问题:在什么情况下两个矩阵相似?一个比较自然的想法是:设想有某个具有指定形式的“简单”矩阵的集合,...  (本文共3页) 阅读全文>>

《长治学院学报》2014年05期
长治学院学报

关于矩阵的Jordan块与特征值的代数重数和几何重数的探讨

1引言设λi是n级复数矩阵A的ki重特征值,对应有Si个线性无关的特征向量,则称ki为λi的代数重数,Si为λi的几何重数,恒有1《Si《ki,也即一个矩阵的特征值的几何重数一定小于等于它的代数重数。文章主要利用矩阵的Jordan标准形来进一步研究矩阵特征值的几何重数与代数重数之间的关系。2主要结果及证明每个n级的复数矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似,这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的,它称为AJordan标准形[1]346-352。设n级复数矩阵A的Jordan标准形为:J=!####"####$%####&####’,其中,Ji=!########"########$%########&########’,那么λ1,λ2,…λs为A的Jordan标准形J的所有的特征值(其中λ1,λ2,…λs可能有相同的),又因为两个相似矩阵具有相同的特征值,所以λ1,λ2,…λs也是矩阵A的所有...  (本文共2页) 阅读全文>>

《哈尔滨师范大学自然科学学报》1990年20期
哈尔滨师范大学自然科学学报

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式

1特征值的代数重数与几何重数复数域上的任意一个n阶矩阵A,恰有n个特征值λ1,λ2,…,λn,它们是A的特征多项式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)的n个零点.不妨假设,矩阵A的互异特征值为s个(1sn).于是,特征多项式可以写成|λE-A|=(λ-λ1)n1(λ-λ2)n2…(λ-λs)ns式中的ni(i=1,2,…,s)称为特征值λi的代数重数.显然有以下关系1nin(i=1,2,…,s),si=1ni=n记矩阵A-λiE的秩rank(A-λiE)=ri,则0rin-1(i=1,2,…,s)而且,矩阵A-λiE的核空间是n-ri维的,特征值λi对应矩阵A的n-ri个线性无关的特征向量.记n-ri=gi,并称gi为特征值λi的几何重数.显然,有不等式1gini(i=1,2,…,s)记所有特征值的几何重数之和si=1gi=g,则有不等式1sgn.2Jordan标准形的构成任意一个n阶矩...  (本文共5页) 阅读全文>>

《工科数学》1950年30期
工科数学

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式

化方阵为Jordan标准形过渡矩阵的一般形式叶介英(内蒙古工业大学)矩阵的相似标准形及其过渡矩阵是矩阵理论的重要内容,在理论研究和工程技术中都有广泛的应用。任意方阵A,总存在可逆矩阵P,经过相似变换P-’AP,可以得到A的JOO巾11标准形。这种过渡矩阵P不是唯一的,而是有无穷多个。但在各种教科书、参改书以及专著中.部门求其中的某一个。本文讨论的是过渡矩阵的一般形式,它在理论上、教学上都有一定的意义。一、特征值的代数重数与几何重数复数城上的任意一个n阶矩阵A,恰有,;个特征值人,人,…,人,它们是A的特征多项式【人E一AD一(人一人)(人一人卜··(人一人)的n个零点。不妨假设,矩阵A的互异特征值为s个(1<s<n),则特征多项式可以写成uE一川一(k一ArI(A一人)”。…(A一人)”。,式中的。;(J一1,2,…,S)称为特征值人的代数重数。显然有下列关系l<。。;<n(,一1,2,…,s),z,。;一。。。i一1记矩阵A一...  (本文共5页) 阅读全文>>

《数学理论与应用》2004年02期
数学理论与应用

求矩阵A的Jordan标准形的另一方法

1 引 言求n阶矩阵的A的Jordan标准形的普通方法是先求出A的初等因子,然后得到A的Jordan标准形.然而A的初等因子一般不易求得,所以普通方法应用起来有一定难度.本文介绍求矩阵A的Jordan标准形的另一方法:假设(λi 是矩阵A的特征值,若得到:rank(λi E - A) =Si1 ,rank(λi E - A) 2 =Si2 ,…,rank(λi E - A) li =Sili,rank(λi E - A) li+1 =Sili,且Si1 Si2 …Sili,则可求出矩阵A对应于λi 的Jordan块的阶数和个数.2 基本概念与主要结果定义1 假设|λE - A| =ΠSi=1 (λ-λi) mi,其中λ1 ,λ2 ,…,λs,为A的互异特征值,mi是正整数且∑si=1mi=n,则mi称为特征值λi的代数重复度;若rank(λi E - A) =n -αi,则αi称为特征值λi的几何重复度,1≤i≤s.定义2 假设...  (本文共4页) 阅读全文>>