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巧用二次曲面的切平面方程

1 二次曲面的切平面方程定理[1 ] :设P0 (x0 ,y0 ,z0 )为实二次曲面S :Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+Dy2 + 2Eyz +Fz2 + 2Gx + 2Hy + 2Iz+J=0上的一点 ,若Ax0 +By0 +Cz0 +G ,Bx0 +Dy0 +Ez0 +H ,Cx0 +Ey0 +Fz0 +I,不全为零 ,P0 称为S的寻常点 .则二次曲面S在P0 (x0 ,y0 ,z0 )处的切平面方程为 :Ax0 x +B(x0 y +xy0 ) +C(x0 z+xz0 ) +Dy0 y +E(y0 z+yz0 ) +Fz0 z+G(x0 +x) +H(y0 +y) +I(z0 +z) +J =0推论 设P0 (x0 ,y0 ,z0 )为二次曲面S外一点 ,若过P0 (x0 ,y0 ,z0 )可做二次曲面S的切平面 ,则所有切点共面 ,其方程为 :Ax0 x +B(x0 y +xy0 ) +C(x0 z+xz0 )...  (本文共3页) 阅读全文>>

《商丘师范学院学报》2003年05期
商丘师范学院学报

旋转二次曲面成像在物理教学中的应用研究

0引言都是最基本最重要的几何曲、一‘、、,甭蓝由穷_鼠然椭球面、双曲面、。面与球面一样曼鬓竺夏鬓慧;、球面上折射和反第5期傅景礼,等:旋转二次曲面成像在物理教学中的应用研究125射的成像间题,但仅限于平面和球面.玻恩在他的(光学原理)一书中曾粗略地研究了光在旋转二次曲面上反射和折射的成像问题[e],研究问题的方法仍是借助曲率中心和曲率半径,得到的结论形式复杂,也不太全面.可见,几何光学的理论仍不完善,存在严重缺陷,特别是现在光学仪器的核心部件—透镜,全都是球面透镜,成像性能无法比较,椭球面透镜、抛物面、双曲面透镜至今没有问世,旋转二次曲面的成像问题急待研究.众所周知,球面曲率中心是固定的,曲率半径是不变的,从曲率中心和曲率半径出发研究球面成像问题是比较恰当的,得到的结论形式简洁,便于应用,而旋转二次曲面上各点对应的曲率中心位置不同,曲率半径也不是常量,如果仍选二者作为基本量,就使问题的研究趋于复杂.近年来我们选择表示旋转二次曲面...  (本文共6页) 阅读全文>>

《延安大学学报(自然科学版)》2012年04期
延安大学学报(自然科学版)

二次曲面的标准方程化为参数方程的一种简便方法

二次曲面的标准方程中,没有xy、yz及xz这样的项,利用方程的这一特征,得到了将二次曲面标准方程化为参数方程的一种简便方法。设二次曲面的标准方程为F(x,y,z)=0,由于其中不含xy、yz、xz这样的项,因而其方程可写成F1(x,y)+F2(z)=0(或F1(x,z)+F2(y)=0,或F1(y,z)+F2(x)=0)的形式,现仅对F1(x,y)+F2(z)=0的形式进行讨论,其余两种情形类似。设二次曲面的标准方程可写为:F1(x,y)+F2(z)=0。设F1(x,y)=φ(k)(1)其中k为参数,则由二次曲面的方程有φ(k)+F2(z)=0(2)(1)式是关于x和y的方程,可将其看作是平面曲线的方程,利用将平面曲线的方程化为参数方程的方法[1]得到(1)的参数方程为x=f1(u,k){y=f2(u,k)(u为参数)(3)(2)式可看成是关于k和z的方程,所以也是平面曲线的方程,将其化为参数方程为k=f3(v){z=f4(v)...  (本文共2页) 阅读全文>>

《大学数学》2008年01期
大学数学

n维二次曲面的切超平面

关于二次曲面的切平面问题的研究,本人在《利用特征根研究二次曲面的切平面问题》[1]一文中,已经推导出了三维空间中平面为二次曲面的切平面的充要条件,现将这一结论推广到n维空间,从而给出平面为n维二次曲面的切超平面的充要条件.在n维欧氏空间中,n维二次曲面方程为F(x1,x2,…,xn)=∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi+c=0(aji=aji,i,j=1,2,…,n).(1)过n维二次曲面(1)上一定点M(y1,y2,…,yn)的所有切线构成的n维平面称为n维二次曲面的切超平面[2],其方程为∑ni=1 F xi(y1,y2,…,yn)(xi-yi)=0(2)其中F xi(y1,y2,…,yn),(i=1,2,…,n)不全为零.引理[3]对于n维二次曲面(1),通过坐标变换可化为下列两种标准形式之一∑ri=1iλxi2=E(1≤r≤n;iλ≠0,i=1,2,…,r),(3)∑ri=1iλxi2=2Fxr+1...  (本文共4页) 阅读全文>>

《系统工程与电子技术》2005年02期
系统工程与电子技术

基于对偶绝对二次曲面像变换的自定标方法

1 引 言  摄像机定标是从二维图像获取三维信息必不可少的步骤,自从1992年Faugeras[1]等人提出摄像机自定标的概念,证明可以直接从图像序列中标定出摄像机内参数,这方面的研究目前已成为计算机视觉领域中最重要的研究方向之一[2~4]。自定标技术不同于传统的摄像机定标技术,它并不需要知道准确的三维度量信息,而试图利用从图像序列中得到的约束关系来计算摄像机模型的参数。这就使在线的、实时地标定摄像机模型参数成为可能。1992年,Faugeras[1]提出了基于绝对二次曲线的自定标方法,并利用绝对二次曲线是欧氏不变量的特性导出了Kruppa方程,通过求解Kruppa方程来求解摄像机的内参数,但该方法极易发散,所得到的结果不稳定。这一方法主要出现在自定标理论的早期,Harltey[5]等人给出了自定标和欧氏重建的分层算法,该算法的思想是将射影重建到欧氏重建的过渡分成两个阶段:仿射重建阶段和欧氏重建阶段。而基于对偶绝对二次曲面及其像...  (本文共4页) 阅读全文>>

《大学物理》1980年20期
大学物理

旋转二次曲面的成像公式

旋转二次曲面的成像公式傅景礼(商丘师范高等专科学校物理系,河南商丘476000)摘要从焦点和焦点参数出发,研究光在旋转二次曲面上的折射和反射.关键词旋转二次曲面;焦点;成像分类号O4351引言光的折射和反射理论是几何光学的重要内容.一些教材[1~5]借助曲率中心和曲率半径成功地研究了光在平面、球面上的折射和反射的成像问题,但仅仅限于平面和球面.玻恩曾研究了光在旋转曲面上的折射和反射[6],但研究问题的方法仍是借助于曲率中心、曲率半径.由于旋转曲面上各点对应的曲率中心位置不同,曲率半径不是常量,故笔者认为借助于焦点和焦点参数来研究这一问题会更为恰当.本文从焦点和焦点参数出发,研究了光在旋转二次曲面上折射和反射的成像,正确的给出了近轴条件下成像的一般公式,并进行了分析讨论.2光在旋转二次曲面上折射成像2.1旋转二次曲面上折射光束不再保持单心性如图1所示,AOB表示顶点在O的旋转二次曲面,C为该曲面的焦点,过OC的直线为该曲面的主轴,...  (本文共3页) 阅读全文>>