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矩阵方程式AX-XB=C的一个解法

1.引言矩阵方程式 注X一XB二C(1)AM:M,B汾二,和CM二,是已知矩阵,求解满足(1)式的矩阵X。 方程(1)的求解问题,有着多方面的应用(参阅〔2〕所列文章),已有多篇文章不同地讨论了它的解法,例如〔2],【3],【4]等,这里,我们给出一个解法,是通过L翻czo:的方法变换矩阵B为三对角矩阵,进而建立递推算法。所给解法,可看作解线性方程组的“追赶法”的一个扩充。 我们巳知【6],方程式(1)可化为线性方程组 Gx=d.(2)其中,G二IN因A一Br⑧与是Kroneckel乘法的和,G是。:。阶方阵,x和d分别是由矩阵X和C的列构成的万N维列阵,而且已知【1〕,方程(1)对任何矩阵C有唯一解的充分与必要条件是之‘一产,砖。,这里久‘和产:分别是矩阵A和B的特征值,即是说,方租(1)有唯一解的充分与必要条件是矩阵A和B没有共同的特征值。 1下面是我们给出的解法2。解法 设矩阵方程式 通火…一XB=C(3)中的A与刀没有共...  (本文共4页) 阅读全文>>

《齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)》1983年02期
齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)

两种矩阵方程解的讨论

本文将对两种矩阵方程的船进行讨论,所谓矩阵方程是指以矩阵作为未知量的方程。最简单的矩阵方程是 A X+B=O∑A,,x:=Bj。l其中,A,B,A j j'B i均为n阶方阵,我们先讨论如下矩阵方程的解: f(X)=A这种方程在满足一定条件下是不难求解的。下面此处,f(x)为复数域c上次数大于零的多项式。 定义1 设A为m阶方阵,若n阶方阵B满足B。=A,说B是矩阵方程X。=A的一个解。 定义2 设f(x)为数域F上的次数大于零的多项式,A,则说B是方程f(x)=A的一个根(或解)。;( 1 )则称B为人的一个平方根,或若n阶方阵B满足f(B)= 并非任何方阵A都有平方根,例如,A=(g 己))就没有平方根,因此并非对任何矩阵A,方程f(x)=A都有解。 定理1 设f(x)为数域c上次数大于零的多项式,矩阵A相似于对角阵D, 则方程(1)有解。 证设A~D=diag[九1,九2,…九。],故有非奇异阵T。使T叫AT≈D,即A=T...  (本文共5页) 阅读全文>>

《南京师大学报(自然科学版)》1984年01期
南京师大学报(自然科学版)

一类二次矩阵方程的解

二次矩阵方程的一般形式是 XAX+BX+XC+D=0关于这类方程,巳有许多工作〔3,4〕,但对于形如 X.AX+B.X+X.C+D=O的矩阵方程研究较少。L·Crone在〔1〕中专门研究了这类矩阵方程中比较特殊的两种:X.AX+B.X+XB.十C=0X.AX+B.X+C=0其中A为(z王ermite)正定阵,C为Hermitel诈,他又」‘方程(I)给出了完全的解答,即找出了(1)有解的充解条件及有解时解的一般形式;而对(I)给出了部分的解答。 本文的主要目的是扩充〔1〕的结果,即考察方程(1)与‘亚)中的A为非负定的情形,得到了类似于〔1〕的一些结果,且包含了〔1〕的结果。当允冷八为非负定时阵,情况变得较为复杂,为了求解二次矩阵方程的需要,我们给出了性线矩阵方程有Horlni比解、非负定解、正定解的条件以及相应各种特殊解类的一般形式。 本文使用的主要工具是奇异直分解与广义逆解线性矩阵方程的理沦,见〔2〕。任一复矩阵M恒可表示成...  (本文共10页) 阅读全文>>

《山东矿业学院学报》1981年01期
山东矿业学院学报

一类矩阵方程的解

今考虑矩阵方程一I(A’B)‘C一0‘A .B一AB一BA其中:A二(a;j)nxn.B二(bij)nxn,!司此,不再说明)。 以下分几种情况进行讨论。nXn;B,C为任意对称矩阵(下文一R产e二P{“P产Cn、、l…z/ n ‘匕其中R,P为n阶正交矩阵,且b‘今bj,。.今。jz‘、Z‘、、2、,,了方程(1)成为 或AB一BAAB一BAC一CC二CABABi今j;i,j=1,2…,n一BA)一O一BA)(3)设X一AB一BA,则(3)式成为XC=CX将(2)式代入得/c, 一一、!11一/ n U \C ‘.工C/了11、、、、P产XP\IP尹XP\}Cll令(4) ︸X\!/ n 0 \ CC/l!、 一一则c:今cj(i寺j时)(一交·:’‘·、xn{时方·(·)·····X(i-l,2,·一任意实数.:.、_P:P,_P}”·、飞P,. 火、n夕故一)“·、二n…一将(2)式代人整理得 厂blR,AR{ 、加,、/...  (本文共7页) 阅读全文>>

《青海师专学报》1995年03期
青海师专学报

矩阵方程及其解法

在高$K@Bgg##@,如£R@阵的问题、解线性方鸯缉的回题、闯冕苇叹电朋基下的坐标关系问题和线性变换下的坐标问题等等,都涉及到了解形如Ax—B或者缺一$4矩阵方程的问题。当然,这里提到的矩阵A都是n阶可逆矩阵、孤各,芝A不甩澄,藻篱不是方阵的情况又是如何呢?本文将讨论一般形式的矩阵方摸叱B干Q瓣的存在情况鹏法问题.首先讨论矩阵方程的解的存在情况定理1.矩阵方程AX—B有解的充分与必要条惮是R的列向量缉可以由八的列向邑组线性表出,其中人是sxn矩阵,B是sXm矩阵.证明:设方程AX—B有解,并把A,B写为列向量形式,则有lillP:lthlIo;,口了,’‘·.口二)I:I——叉pl,pZ,”””,卜DJQ/Q/其中民一X;。口互十x。。q。十·@·十X旦。o口J\21汐.2多…多川玉②即B的列向量组可以由A的列向量组线性表出.反之,若有表示式卧便可以写成/X.\口Z——(O.口,.….on及r【】2吕层,Z,“””,m的形式,...  (本文共3页) 阅读全文>>

《江汉大学学报(自然科学版)》1986年02期
江汉大学学报(自然科学版)

关于几类矩阵方程的解法

本文给出矩阵方程AXB=C的快速解法和矩阵方程XDX十AX十XB十C=O的某些特殊寸}牙形的解法。 (一)关于矩阵方程AXB=C已有一般的解法,参考文献(‘)本文只给出它的一个快速解法。 定理I设有矩阵方程AX一B(A非奇异)则可用矩阵方程的初等行变换将(A:B)变到(I:X)即将A变到I(这里I为单位矩阵)时,同时也就将B变为X了. 证明因为A非奇异,显然X~A“‘B,故有 A一‘(A:B)~(卜A一’B)二(卜X)由于A一’也非奇异,从而A一’可表成一些初等矩阵的乘积,这就表明用同样的矩阵的初等行变换把A化为I的同时,也就将B化为X了,证毕.一,,_、,、_、。,;。_。,,、,、n/*_。_、,二、一,一m一一。一一,,一幼、二/A、一~正理乙议月为巳降刀住入乃~D戈几非可开)圳l日用犯降阴钊寺划哭仪检几·书一】父羊lJ 、D/、、,/IX矛‘、证明因为A非奇异,显然X一BA一‘故有(力A‘一(、/-l)一(资一)这就表明...  (本文共4页) 阅读全文>>