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矩阵方程式AXB+CXD=E

1.引 令沪”表示复数矩阵的向盘空间。矩阵方程式 AXB+CXD=E(1 .1)其中A,C〔加‘“,B,D任b’“q和E任加‘。是已知矩阵,求满足(1.1)的X任卜“。 这类方程出现在MIN卯E协方差分盈的理论中以及其他方面。文章〔l〕用矩阵束的方法给了求解(1.1)式的一个解法。本文就方程(1.1)的等价线性方程组的迭代解法,给出与系数矩阵的奇异值有关的一个收敛充分条件,并指出收敛的极限是一个极小范数解。我们知道,表示(1 .1)式的一个基本方法是化为等价的线性方程组 〔BT QA+DT公C〕esX=esE(1 .2)求解,其中因表示K:onecker乘法,c sX和csE分别是矩阵X和E的列依次排成的列阵。 记Br公A十Dr⑧C=r任加砂,,csX=x任b,“和b=csE任b;,“。(1.2)式简记为 rx=b(1 .3)方程(1’.l)相容时,(1 .3)式的特解可表示为广义逆形式。 x=厂一b(1 .4)一般情况下,解不...  (本文共5页) 阅读全文>>

《山东矿业学院学报》1981年01期
山东矿业学院学报

一类矩阵方程的解

今考虑矩阵方程一I(A’B)‘C一0‘A .B一AB一BA其中:A二(a;j)nxn.B二(bij)nxn,!司此,不再说明)。 以下分几种情况进行讨论。nXn;B,C为任意对称矩阵(下文一R产e二P{“P产Cn、、l…z/ n ‘匕其中R,P为n阶正交矩阵,且b‘今bj,。.今。jz‘、Z‘、、2、,,了方程(1)成为 或AB一BAAB一BAC一CC二CABABi今j;i,j=1,2…,n一BA)一O一BA)(3)设X一AB一BA,则(3)式成为XC=CX将(2)式代入得/c, 一一、!11一/ n U \C ‘.工C/了11、、、、P产XP\IP尹XP\}Cll令(4) ︸X\!/ n 0 \ CC/l!、 一一则c:今cj(i寺j时)(一交·:’‘·、xn{时方·(·)·····X(i-l,2,·一任意实数.:.、_P:P,_P}”·、飞P,. 火、n夕故一)“·、二n…一将(2)式代人整理得 厂blR,AR{ 、加,、/...  (本文共7页) 阅读全文>>

《益阳师专学报》1993年06期
益阳师专学报

线性矩阵方程(组)的理论

设F是一个域,F上的线性方程组的理论是熟知的。类似地,有下面的关于线性矩融:方程是否有解的判定定理。 定理1 若A是F上的171×n矩阵,B是F上的m×s矩阵,ⅢIj线性矩阵方程AX=B在F上有解车专A秩:(A,B)秩。 证明 记a,, G:,…, a。是A的列向量, B t, B:,…B。是B的列向量,则A.B,(A,B)可以分块地分别写为 A=(0c 1,仅2,…,cc。). B一(13 l,p 2,…,Bs), (A,B)=(仪1, Gc:,…,仅。,f;1, B 2,…,口。)。 —今若AX=B在F上有解,即有F上的II×s矩阵X o,使 (仅1,a 2,…,c【。)X 0==(B 1, B 2,…,口。),则f{-, f3:,…, B。可由仪,,仅:,…, OI。线性表示,从而,A秩一(A,B)秩。 辱一 符A秩=(A,B)秩,则任一f;t可由仅-, 仅z,…, 位。线性表示.记 目i=k i 1 cc 1+k i。仅...  (本文共6页) 阅读全文>>

《齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)》1983年02期
齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)

两种矩阵方程解的讨论

本文将对两种矩阵方程的船进行讨论,所谓矩阵方程是指以矩阵作为未知量的方程。最简单的矩阵方程是 A X+B=O∑A,,x:=Bj。l其中,A,B,A j j'B i均为n阶方阵,我们先讨论如下矩阵方程的解: f(X)=A这种方程在满足一定条件下是不难求解的。下面此处,f(x)为复数域c上次数大于零的多项式。 定义1 设A为m阶方阵,若n阶方阵B满足B。=A,说B是矩阵方程X。=A的一个解。 定义2 设f(x)为数域F上的次数大于零的多项式,A,则说B是方程f(x)=A的一个根(或解)。;( 1 )则称B为人的一个平方根,或若n阶方阵B满足f(B)= 并非任何方阵A都有平方根,例如,A=(g 己))就没有平方根,因此并非对任何矩阵A,方程f(x)=A都有解。 定理1 设f(x)为数域c上次数大于零的多项式,矩阵A相似于对角阵D, 则方程(1)有解。 证设A~D=diag[九1,九2,…九。],故有非奇异阵T。使T叫AT≈D,即A=T...  (本文共5页) 阅读全文>>

《南京师大学报(自然科学版)》1984年01期
南京师大学报(自然科学版)

一类二次矩阵方程的解

二次矩阵方程的一般形式是 XAX+BX+XC+D=0关于这类方程,巳有许多工作〔3,4〕,但对于形如 X.AX+B.X+X.C+D=O的矩阵方程研究较少。L·Crone在〔1〕中专门研究了这类矩阵方程中比较特殊的两种:X.AX+B.X+XB.十C=0X.AX+B.X+C=0其中A为(z王ermite)正定阵,C为Hermitel诈,他又」‘方程(I)给出了完全的解答,即找出了(1)有解的充解条件及有解时解的一般形式;而对(I)给出了部分的解答。 本文的主要目的是扩充〔1〕的结果,即考察方程(1)与‘亚)中的A为非负定的情形,得到了类似于〔1〕的一些结果,且包含了〔1〕的结果。当允冷八为非负定时阵,情况变得较为复杂,为了求解二次矩阵方程的需要,我们给出了性线矩阵方程有Horlni比解、非负定解、正定解的条件以及相应各种特殊解类的一般形式。 本文使用的主要工具是奇异直分解与广义逆解线性矩阵方程的理沦,见〔2〕。任一复矩阵M恒可表示成...  (本文共10页) 阅读全文>>

《绵阳经济技术高等专科学校学报》1998年03期
绵阳经济技术高等专科学校学报

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……(I)为矩阵线性方程组,其中A为系数阵,X为变量阵,B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上,给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank(A,B)一rank(A)。证:令x1,x2,…x。为X的列向量,其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组,根据线性方程组理论可知,有解的充分必要条件是,从而rA)。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……(!)中rank(A)一r。将矩阵【A,B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1_二卜其中E为厂阶单位,C为rX(s-r)阶矩阵,0为(m-r)XS阶零矩阵,民为rX,。阶矩阵,儿为(m一肝Xn阶矩阵。则方程组AX—B有解的充分必要条件是...  (本文共2页) 阅读全文>>