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矩阵方程式AXB+CXD=E

1.引 令沪”表示复数矩阵的向盘空间。矩阵方程式 AXB+CXD=E(1 .1)其中A,C〔加‘“,B,D任b’“q和E任加‘。是已知矩阵,求满足(1.1)的X任卜“。 这类方程出现在MIN卯E协方差分盈的理论中以及其他方面。文章〔l〕用矩阵束的方法给了求解(1.1)式的一个解法。本文就方程(1.1)的等价线性方程组的迭代解法,给出与系数矩阵的奇异值有关的一个收敛充分条件,并指出收敛的极限是一个极小范数解。我们知道,表示(1 .1)式的一个基本方法是化为等价的线性方程组 〔BT QA+DT公C〕esX=esE(1 .2)求解,其中因表示K:onecker乘法,c sX和csE分别是矩阵X和E的列依次排成的列阵。 记Br公A十Dr⑧C=r任加砂,,csX=x任b,“和b=csE任b;,“。(1.2)式简记为 rx=b(1 .3)方程(1’.l)相容时,(1 .3)式的特解可表示为广义逆形式。 x=厂一b(1 .4)一般情况下,解不...  (本文共5页) 阅读全文>>

《山东矿业学院学报》1981年01期
山东矿业学院学报

一类矩阵方程的解

今考虑矩阵方程一I(A’B)‘C一0‘A .B一AB一BA其中:A二(a;j)nxn.B二(bij)nxn,!司此,不再说明)。 以下分几种情况进行讨论。nXn;B,C为任意对称矩阵(下文一R产e二P{“P产Cn、、l…z/ n ‘匕其中R,P为n阶正交矩阵,且b‘今bj,。.今。jz‘、Z‘、、2、,,了方程(1)成为 或AB一BAAB一BAC一CC二CABABi今j;i,j=1,2…,n一BA)一O一BA)(3)设X一AB一BA,则(3)式成为XC=CX将(2)式代入得/c, 一一、!11一/ n U \C ‘.工C/了11、、、、P产XP\IP尹XP\}Cll令(4) ︸X\!/ n 0 \ CC/l!、 一一则c:今cj(i寺j时)(一交·:’‘·、xn{时方·(·)·····X(i-l,2,·一任意实数.:.、_P:P,_P}”·、飞P,. 火、n夕故一)“·、二n…一将(2)式代人整理得 厂blR,AR{ 、加,、/...  (本文共7页) 阅读全文>>

《齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)》1983年02期
齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)

两种矩阵方程解的讨论

本文将对两种矩阵方程的船进行讨论,所谓矩阵方程是指以矩阵作为未知量的方程。最简单的矩阵方程是 A X+B=O∑A,,x:=Bj。l其中,A,B,A j j'B i均为n阶方阵,我们先讨论如下矩阵方程的解: f(X)=A这种方程在满足一定条件下是不难求解的。下面此处,f(x)为复数域c上次数大于零的多项式。 定义1 设A为m阶方阵,若n阶方阵B满足B。=A,说B是矩阵方程X。=A的一个解。 定义2 设f(x)为数域F上的次数大于零的多项式,A,则说B是方程f(x)=A的一个根(或解)。;( 1 )则称B为人的一个平方根,或若n阶方阵B满足f(B)= 并非任何方阵A都有平方根,例如,A=(g 己))就没有平方根,因此并非对任何矩阵A,方程f(x)=A都有解。 定理1 设f(x)为数域c上次数大于零的多项式,矩阵A相似于对角阵D, 则方程(1)有解。 证设A~D=diag[九1,九2,…九。],故有非奇异阵T。使T叫AT≈D,即A=T...  (本文共5页) 阅读全文>>

《南京师大学报(自然科学版)》1984年01期
南京师大学报(自然科学版)

一类二次矩阵方程的解

二次矩阵方程的一般形式是 XAX+BX+XC+D=0关于这类方程,巳有许多工作〔3,4〕,但对于形如 X.AX+B.X+X.C+D=O的矩阵方程研究较少。L·Crone在〔1〕中专门研究了这类矩阵方程中比较特殊的两种:X.AX+B.X+XB.十C=0X.AX+B.X+C=0其中A为(z王ermite)正定阵,C为Hermitel诈,他又」‘方程(I)给出了完全的解答,即找出了(1)有解的充解条件及有解时解的一般形式;而对(I)给出了部分的解答。 本文的主要目的是扩充〔1〕的结果,即考察方程(1)与‘亚)中的A为非负定的情形,得到了类似于〔1〕的一些结果,且包含了〔1〕的结果。当允冷八为非负定时阵,情况变得较为复杂,为了求解二次矩阵方程的需要,我们给出了性线矩阵方程有Horlni比解、非负定解、正定解的条件以及相应各种特殊解类的一般形式。 本文使用的主要工具是奇异直分解与广义逆解线性矩阵方程的理沦,见〔2〕。任一复矩阵M恒可表示成...  (本文共10页) 阅读全文>>

《内蒙古大学学报(自然科学版)》1981年01期
内蒙古大学学报(自然科学版)

“极大—乘积”型矩阵方程的解

E.Sanchez〔i〕和本缘、田代〔幻考虑T’“Max一Min,,型矩阵方程的求解问题。本文将考虑Fuzzy集论中提出的另一种常用的矩阵方程。在这类方程中,矩阵之间的合成是用“极大一乘积”规则进行的,即所谓“Max一·”合成。例如p={夕乏j},i=l,2,…,m,.j=l,2,…,n,Q={外}j=1,2,.,.,n,’k=l,2,…;, p*,,qj、任[0,l]则尸,Q之间的合成为p oQ=R={r‘j}r云,。[0,l]这里R是一个(脚,:)矩阵,ri了=VP派*qkj k.1其中几*孔j表示几;和乳j的普通乘积,v表示取极大运算,对这种矩阵合成常常需要考虑相反的问题,即已知P,决的问题。 k二二1R如何求Q?或已知Q,R如何求尸?这就是本文所要解本文给出了这类方程可解的充分必要条件;极大解的求法;通解的求法,方程有唯一解的充要条件;并且研究了全体解的结构,得出了全体解构成一个上半格的结论。弓1简单的AX=B型方程先着...  (本文共11页) 阅读全文>>

《数学学习与研究》2017年01期
数学学习与研究

一道全国大学生数学竞赛试题的推广

一、引言2015年第七届全国大学生数学竞赛(数学类)预赛试题第三大题:设A为n阶实方阵,其n个特征值皆为偶数.试证明关于X的矩阵方程X+AX-XA2=0只有零解.证明如下.设C=I+A,B=A2,A的n个特征值为λ1,λ2,…,λn,则B的n个特征值为λ21,λ22,…,λ2n;C的n个特征值为μ1=λ1+1,μ2=λ2+1,…,μn=λn+1;C的特征多项式为pC(λ)=(λ-μ1)(λ-μ2)…(λ-μn).若X为X+AX-XA2=0的解,则有CX=XB;进而C2X=XB2,…,CkX=XBk,…,结果0=pC(C)X=XpC(B)=X(B-μ1I)…(B-μnI).注意到B的n个特征值皆为偶数,而C的n个特征值皆为奇数,故(B-μ1I),…,(B-μnI)皆为可逆矩阵,结果由0=X(B-μ1I)…(B-μnI)立得X=0.受此启发,考虑一般的问题:方阵A与B满足什么条件时,关于X的矩阵方程AX=XB只有零解.二、主要结论定...  (本文共1页) 阅读全文>>