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代数基本定理的一个新证明

芍1.引言 阴龄棋数域的代数封阴性的定理(即通常所霭“代数基本定理,’)自高斯朋始已有了不少的蹬明;直到现在,佳管由聆函数箫和拓璞季的截展此定理所肯定的事宵已燮得十分明顾,但数肇家们纷寻求新的蹬明仍未完全奕失典趣1).如所迥知,疽一定理肯定任一蝮保数多项式均可在蝮数域上分解篇技性因子的乘棱.本文的目的是要拾疽侗定理提供一侗新的橙明.在覆明中将封多项式的次数作蹄钠法.蹬明所依檬的都是分析和代数中一些最普通的事育,较大的定理可以靓没有用到. 作者愿赏感榭他的老师丁石探先生,由粉丁先生的重要臀示作者方能窝成此文.若2.雨涸引理 我们的出簧黑亏是考虑一般蝮保数多项式 j(£)=之”+al名似一,+…+a。=i。(劣,万)+、、,(。1,万): 之=劣+i万的模的平方 ,。=If(:){2=二,(二,万)+沪(x,万)的下界.首先有下面的基本事育: 引理1.函数叨必在某一有限黑左上连到下界;而且,在叨的任一取局部...  (本文共4页) 阅读全文>>

《渝州大学学报(自然科学版)》1970年30期
渝州大学学报(自然科学版)

代数基本定理的一个新证明

代数基本定理的一个新证明余沛(重庆交通学院计算机系,重庆,400074)摘要利用初等的反函数定理给出了代数基本定理的一个既初等又简单的证明。关键词反函数定理;解析函数;闭集首先回忆一下复数域C上一元函数的反函数定理。反函数定理假设f:C→C是复解析函数。(i)若z0∈C,f(z0)≠0,则存在δ>0及f(z0)的δ邻域D(f(z0),δ)={z∈C|z-f(z0)|<δ}和复解析函数f-1z0:D(f(z0),δ)→C使f-1z0(f(z0))=z0且对任意w∈(f(z0),δ),有f(f-1z0(w))=w。(i)若K是C的一个非空有界闭集,且对z∈K都有f(z)≠0,则存在δ>0,使得对任意z∈K都存在解析函数f-1z:D(f(z),δ)→C满足f-1z(f(z))=z且对任意w∈D(f(z),δ)有f(f-1z(w))=w。下面给出代数基本定理的简单证明。代数基本定理设f=∑ni=1aizi是复系数n(n≥1)次多...  (本文共2页) 阅读全文>>

《数学通报》1979年04期
数学通报

“代数基本定理”的一个初等证明

..................‘月fl.eeseee口ee 妇招-- ,,\‘淤 本文所谓初等证明,指的是所用预备知识不超出普通高等代数教程的证明。我们把这些知识概括为下面的三个引理,它们都可以在普通的高等代数教科书中找到。 引理1设f(劣)是闭区间〔a,b〕上的实连续函数,f(a)了(b),一1时为2(l+,一k)一i。(6)式右边的拉普拉斯展开式的每个非零项形如 士a:‘、(x)aZ,2(%)…az。一,,,2,_l(劣) (7)其中艺.,艺2,一,艺2。~:为1,2,…,2。一1的某个 2”一12”~1置换,因而艺八=艺k。于是项(7乡的次数为妙(2”一‘)的系数不为零就行了。这个系数就等于在(7)式右边用f*(劝的首项系数代替f,(劝所得的行列式,也就是命题1中的A。 命题3设。为奇数,则2,次实系数多项式了(劝有一个复根。 ,...  (本文共2页) 阅读全文>>

《数学教学》1984年01期
数学教学

代数基本定理的一个证明

代数基本定理说的是:次数不小于1的多项式 尸(Z) =aoZ几+ai么卜1+…+a。_i艺+a。(a。沪0).至少有一个复数根. 关于此定理的证明,早在1799年高斯在他的博士论文中已给出.将近二百年来人们对这个定理给出了许多不同证明.从所见到的证明都用到比较高深的数学知识. 本文试图给出一个比较初等而简单的证明,希望对没有学过高等数学的中学生,也有可能理解. 证明思路是这样的:考察在Z变化时,值尸(艺)的幅角的变化情况,便不难发现,当!Z}很大时,值P(Z)的幅角与值Z”的幅角相差很小,从而易于看出,当么在复平面的一个很大的正方形的边界上运动时,值P(Z)的幅角的增量和值矛的幅角增量相同,从而是不等于零的.由此,再利用闭矩形套定理(平面上一列闭的矩形块,其中每个都把它后面的一个含在自己的内部,而它们的对角线长越来越小,以致极限为零,则平面上有一点而且也只有一点被含在所有这些矩形的内部.)将上述正方形一次又一次地平分为四,便可以...  (本文共4页) 阅读全文>>

《中小学数学(高中版)》2015年Z2期
中小学数学(高中版)

“代数基本定理”教学构思与课后思考

人教A版教材在每章内容的中间或结尾都设有 出探究结果,并能用规范的数学语言归纳.“探究与发现”或“阅读与思考”,可能因为这部分内容 (2)学生运用归纳的数学思想,经历观察、猜想、与高考关系不大,一般教师会把此内容直接“忽略”. 推理、交流、反思等理性思维过程,体验研究数学的一实际上,这些内容对培养学生独立思考能力和合作探 般方法.究精神有着极大的報助,同时也能拓宽学生的数学 (3)在探究活动中,学生通过独立思考和合作交“视野或许正是因为有着这样一个原因,省、市教研 流,发展思维,养成良好的思维习惯,提升自主学习能室联合组织了一次关于“探究与发现”和“阅读与思 力.考”的优质课评比,而笔者有幸作为市优质课评委参 教学重点:(1)代数基本定理及其理解;与了“代数基本定理”一课的选评.同样本着学习的态 (2)韦达定理的推广及应用:度,笔者在课后与执教教师做了较为深入的交流,感 (3)经历探究,归纳数学研究的方法.受颇多.下面笔者在原教...  (本文共4页) 阅读全文>>

《曲阜师范大学学报(自然科学版)》1987年03期
曲阜师范大学学报(自然科学版)

代数基本定理的实分析证明法

关于代数基本定理的证明方法较多,可以用代数法证明,也可以用复分析的最大模原理或Lio认vill定理证明,这里我们采用实分析的方法证明,力求简便,易于掌握。 定理若f(:)是一个次数七1的复系数多项式,则它至少有一个复数根.亦即至少存在一个:。,使f(z。)=0. 证明该定理需应用以下基本知识(引理) 1.复变量多项式作为一个复函数必连续. 此结果不难用局部展开式给出证明: 证:令二一:。一卜t,!il~,0 f(之)一厂(之。+t)一厂(之。)十f,(之。)t+…+若尸(:。)~尹“(之。)~·一f吃‘一‘’(之。)=0。 f(之)~丈(之。)+Cz’g(艺)f〔’‘’(之。)n!其中C二厂‘走,(之。)g(t)一1一卜,‘1,,、尹‘凡乙)(之。)尹、内n,一一几了「下万可石井一才+(k+2)!C、J‘~广1,名,户+…十沂‘陀’(之。) ,2!C令M一maX{、走一‘,(之。)(k+1)!C’ 厂〔“)(之。) ’n!C}于...  (本文共3页) 阅读全文>>

《曲阜师范大学学报(自然科学版)》1988年03期
曲阜师范大学学报(自然科学版)

代数基本定理的复数证明

设P(z)=之”+a_;之及一‘十…+a:之一卜a。是一个n次多项式,则它在平面上必有n个根。这就是代数基本定理. 在代数学中,证明这个定理是比较繁的.这里我们给出几个复数证明,有的只用到了复数的简单性质及数学分析上连续函数的性质,有的是用到了解析函数论上的基本定理. 首先我们指出,如果我们能够证明,多项式扒(幼在复平面上至少有一个根,则就能证明,P.(:)在复平面上有”个根,这里当然将”重根看作11个根. 事实上,若:一a是多项式乡(幼的一个根:P‘〔a)七O,则用普通除法,可以证明,(:一。)就是乡(b)的一个因子.因此有丸(:)=(:一“)Q。一:(“)一(:一“)(之‘’一‘月一‘L一,“’‘一’一}-一卜‘。).若”一1。,则用同样的方法,可以证明,Q一,(幼也有根。这样一直进行下去,就能证明P(二)有2:个根了。 1.首先我们证明,存在点:~:。,’已能达到最小位: m in!户(:)},(1) (之卜‘一卜且证明在...  (本文共4页) 阅读全文>>