分享到:

关于∫kf(x)dx=k∫f(x)dx成立的条件——证明两边带积分号等式方法的探讨

不定积分的一个线性运算法则,即 f kf(x)dx在常见的一些高等数学教材中都有介绍根据这个定义,立即推出下列基本公式:。hjfk)A(b是常数,b一0)(。但常忽略k学0这个条件。例如(二)中128页上这样叙述:·, 门)… (2)J…工)山一Cj八C)dx,此处C代表一常数 本文先说明(、)式中k一0的条件是不可少的,然后给出(叫式的证明。 我们知道,不定积分与原函数是整体与个体的关系,不定积分If(X)dx是f(x)的原函数的全体,是一族函数。若F(X)是八工)在区间D上的一个原函数,则函数八x)在区间D上的不定积分J f(x)dx是集合卜(x)+C【一 coC+co g,通常我们写作 If(x)dx=F(。)、C*是任意常数)。而 k S f(x)dx则表示把函数族 S f(xV。中的每一个函数都乘以常数k后所得到的一个新函数族c如果 k=0,就只表示常数零一个函数了c 既然不定积分是代表...  (本文共2页) 阅读全文>>

《工科数学》1991年03期
工科数学

积分号“∫”

Leibniz在1675年10月29日的手稿中,第一次引进了积分号记号 .”户..,性.J““Sum...  (本文共1页) 阅读全文>>

《大学物理》1987年01期
大学物理

电磁学中的矢量积分

在普通物理电磁学部分,人们经常要跟一些矢量积分打交道,例如.在这一类积分中,人们为了避免矢量运算,往往要先分析其对称性,然后将它化为标量积分,最后对所求出的矢量的方向加以说明(通常计算出该矢量与某坐标轴的夹 角).但是这样做的结果,有时使叙述变得繁琐含混,不那么直截了当.我在教学中不避开矢量运算,直接 进行矢量积分,收到了简洁明快的效果.下面略举数 例加以说明. 例一 设eR为径向单位矢量,L为半径为R的半圆弧,求积分∫LeRdl的值.(图一) 解 将eR分解到ex和ey两个固定方向上,可得: 以上结果经常被引用,因而有必要单独提出.在上述积分中我们注意两点.其一,若被积矢量在积分过程中方向不断变化。则应先将它分解到固定的方向上以便于积分.一般说来,直角组标系中的单位矢量’。、’,、e.和圆柱坐标系中的单位矢量。:是常矢量,可以提至积分号外,而圆柱坐标系中的’局、’。和球坐标中的。。、e。、。,则不是常矢量,不能轻易提至积分号外...  (本文共2页) 阅读全文>>

《晋中师专学报》1989年02期
晋中师专学报

勒贝克积分中关于积分号下取极限的问题

积分号下取极限,是实变函数中一个重要的问题。在Rie mann积分中,解决这类同题往往需要较强的条件。(比如·一致收敛性。)但在不少实际问题中,往往需要减弱解决这类问题的条件。L积分理论较园满地解决了,有关积分号下取极限的问题。与R积分相比,它成立的条件要弱得多。本文就L积分中,关于积分号下取极限的问题,分析讨论这些定理成立的条件及应用的方法。通过分析,使读者对L积分中,关于积分号下取极限的定理以及其证明方法有一个总体的了解,这样一来,使初学者能灵活地运用这些定理来解题可能有所帮助。 (一)设E可测,mEF(x)…………………………………………………(A) (1)如果条件(A)成立,且I fn(x)I≤K(n=l,2,3,…………)K为常数,则有下式成立·’:三c.。j.fn(x)dx=J F(x)dx (有界收敛定理) E E分析l由Riesz定理可得F(x)的可积性与有界性令l,An=E[x, {fn—F l≥o] Bn=E...  (本文共6页) 阅读全文>>

《成都大学学报(自然科学版)》1989年01期
成都大学学报(自然科学版)

(R)积分中“积分号下求极限”定理的推广

(R)积分的“积分号下求极限”(或等价的“逐项积分”)的理论,即下式1 im了les月卜。lf·‘X,“X二}〔1 imn.月卜 、工rbco‘·(x’J“x气一J。‘(x’‘dx)在什么条件下成立的间题,几一洲叹学分析》中占有较重要阴地位,本中均要水:l)f。(x)〔C〔a,b〕(n=1,2,… 而在通常的《数学分析》教),〔a,b〕2)f。(x)二二二立f(x)(表f,(x)东〔a,b〕上一致收敛于f(x)).这样的条件太必,以致许多常见的例子,如例1 .f·(x)一1+n Zxz(0蕊x蕊1),(n“1,2,…)及一nX-/,一__/1、气U二二泛人气、、夕 、.矛︸,工n {例2 .f。(x)=谧 1 } {1(x‘1-1十幻(x一1)(10,且邑O及N(自然数),使当n)N且x任(x。一卜,x。+乙)臼E时, }f。(x)一f(二)】0,只N及乙10,当n)N且x任(x。一乙,,X。+乙:)自E时,)一)…0,有n。妻...  (本文共11页) 阅读全文>>

《经贸实践》2017年15期
经贸实践

积分号下微分法与莱布尼茨公式在求解不定积分中的应用

一、引言含参变量积分的一个重要应用,就是计算一些重要的积分。在计算含参变量的有限积分和含参变量的广义积分时,对积分中的参变量求导数的运算,叫做积分号下微分法。莱布尼兹法则,也称为乘积法则,是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数,是导数计算中会经常用到的一种公式。本文作者在试求一些较为复杂的不定积分过程中发现,把积分号下微分法与莱布尼茨公式并用,可以方便地求出某些幂函数与指数函数或幂函数与正弦(余弦)函数乘积的不定积分。因此,这种方法可以看作是对分部积分法的一个很好的补充。二、积分号下微分法与莱布尼茨公式在求解不定积分中的应用下面通过对几个典型例题的解析,介绍积分号下微分法与莱布尼茨公式在求解不定积分中的具体应用。我们将用到下面的莱布尼茨公式,这里u(x)和v(x)都是n阶可微函数:(uv)(n)=∑n(i(n)u(i)v(n-i)=0iL)例1:在许多微积分教材和数学手册中计...  (本文共1页) 阅读全文>>