分享到:

矩阵秩的Sylvester与Frobenius等式问题

在矩阵论中,矩阵的秩是最基本的概念之一,它最早是由Sylvester于1861年引进的[1,2]。矩阵的秩是矩阵诸多数量特征中既抽象又本质的数字特征之一,它是行(或列)向量生成空间的维数,也是矩阵在初等变换下的不变量。关于矩阵的秩一个基本结论是:若A、B都是n×n矩阵,且满足AB=0,则r(A)+r(B)≤nSylvester与Frobenius分别把该结果推广成:命题1[1](Sylvester不等式)设A、B都是n×n矩阵,则r(AB)≥r(A)+r(B)-n(1)命题2[2](Frobenius不等式)设A、B、C都是n×n矩阵,则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)(2)关于矩阵的秩有一系列的不等式,其中Sylvester与Frobenius不等式是两个最基本的不等式,它们在矩阵理论中占有重要的地位。文献[2]讨论了若干矩阵乘积的秩的下界问题,该文作者在文末提出如下问题:“不等式(1)和(2)取等号的条件是什么...  (本文共4页) 阅读全文>>

《山西师范大学学报(自然科学版)》2011年03期
山西师范大学学报(自然科学版)

Frobenius不等式的等式条件与可对角化矩阵的秩等式

0引言设Fm×n,F[x]分别为数域F上所有m×n阶矩阵,一元多项式的集合,r(A)为A∈Fm×n的秩,I为单位阵.称方程AXA=A的解X=A(1)为A的一个广义逆.当A∈Fn×n且r(A)≠n时,A有无穷多个这样的广义逆存在[1].记A{1}={X:AXA=A}.矩阵秩的Sylvester与Frobenius不等式,分别是由Sylvester与Frobenius在1884年与1911年给出的[1,2]:Sylvester不等式:r(A)+r(B)≤r(AB)+n A∈Fm×n B∈Fn×l(1)Frobenius不等式:r(AB)+r(BC)≤r(ABC)+r(B)A∈Fm×n B∈Fn×l C∈Fl×t(2)百年来很多数学家研究了使得(1)和(2)中等式成立的条件,其中影响最大的是Roth[3]、Marsaglia和Styan[1]在1952年和1974年分别应用分块矩阵、广义逆,给出的其等式成立的充要条件.最近文献[4~9...  (本文共4页) 阅读全文>>

《泰州职业技术学院学报》2006年04期
泰州职业技术学院学报

关于一次不定方程的Frobenius问题的探讨

引理Ⅰ[1,2]:设(a1,a2,a3)=1,(a1,a2)=d,a1=da1,′a2=da2,′3元一次不定方程a1x1+a2x2+a3x3=n(1)的全部解可表为x1=x10+a2t1′-1μa3t2x2=x20-a1t1′-2μa3t2x3=x30+dt2!####"####$其中x10,x20,x30是(1)的一组解,t1,t2为任意整数,1μ,2μ满足a1′1μ+a2′2μ=1。引理Ⅱ:设(a1,a2,a3,a4)=1,(a1,a2,a3)=d,a1=da1,′a2=da2,′a3=da3,(′a1,′a2)′=d,′a1=′da′1,″a2=′da′2,″4元一次不定方程a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=n(2)的全部解可表为x1=x10+a2t1″-1μa′3t2′-1μa4t3x2=x20-a1t1″-2μa′3t2′-2μa4t3x3=x30+dt2′-3μa4t3x4=x40+dt3!######"##...  (本文共3页) 阅读全文>>

《云南民族大学学报(自然科学版)》2018年01期
云南民族大学学报(自然科学版)

关于极大核p-模Frobenius群的注记

0引言文中所用符号均是标准的,可以参考文献[1-3].提到的有限群的特征标总是指常特征标.假设G为一个群,用Irr(G)表示G的不可约特征标集合.自1901年德国数学家Frobenius证明了著名的Frobenius定理后,即掀起了人们对于Frobenius群研究的热潮.而Frobenius群的推广也是人们关注的焦点之一,例如关于Camina对、Camina群、con-cos群、(CI)对等[4]的研究就是对Frobenius群的推广.1996年,Kuisch和Waall[5]根据Frobenius群的特征标刻画条件进一步推广了Frobenius群,引进了p-模Frobenius群的定义.定义1设p为某素数,N是群G的非平凡的正规子群,K为K[N]的分裂域,且char(K)=p.则满足下列条件之一的群,称为p-模Frobenius群[5].1)对每个非平凡的不可约K[N]-模V诱导到G上是不可约的;2)对N的每个非平凡的p-正则...  (本文共4页) 阅读全文>>

《数学进展》2016年04期
数学进展

Frobenius-Euler多项式的一些乘积公式及其应用(英文)

0 IntroductionLet入be a complex number.The Frobenius-Euler polynomials of high order H^n\x\X)isdefined by the following generating function:备-..x吕#=£翁 (〇·!)、丨v ? n=0m-timesThe case x=0 in(0.1)is called the Frobenius-Euler numbers of high order denoted by (入)=(see,e.g.,[20,22]).In particular,the case m=1 in(0.1)gives the so-called Frobenius-Euler polynomials Hn(x\X)satisfying the generating function(see,e.g.,[14,18-19,...  (本文共13页) 阅读全文>>

《Acta Mathematica Sinica(English Series)》2010年11期
Acta Mathematica Sinica(English Series)

Typical Frobenius Coverings

1 IntroduetionLet r be a gr即h with vertex setV(T)and edge setE(T).The neighborhood of a vertex。任V(r),denoted饰N(v),15 the set of vertiees adjaeent to v.An aot000甲h乞s二of T isapermutation of the vertex setV(r)that preserves adjaeeney.The set of automorphisms formsa permutation group,ealled the aoto饥。印h乞s。夕。叩Aut(T)of r.A graph r 15 ealled ve:tex亡二ns£t葱ve if Aut(T)aets transitively onV(r). Let G be a finite group and let ...  (本文共6页) 阅读全文>>

《安徽大学学报(自然科学版)》2008年05期
安徽大学学报(自然科学版)

群分次Frobenius余环

Sweedler在文[1]中首先引入了余环的概念.近年来,对Frobenius余环的研究取得了许多有意义的结果[2-3].论文的目的是将Frobenius余环的概念推广到群分次余环中去.设A是有单位元1A的结合环,C是A-余环,G是有单位元e的群.称C是G-分次A-余环,如果有A-双模直和分解C=α∈GCα,使得Δ(Cα)β∈GCαβ-1 ACβ,并且当α≠e时,ε(Cα)=0.记Δ(cα)=β∈Gc[1,αβ-1]c[2,β].对于一个(A,A)-双模簇C={Cα}α∈G和一个(A,A)-双模映射簇Δα,β:Cαβ→CαACβ,Δα,β(cαβ)=∑c[1,α]c[2,β],eε:Ce→A,使得(Δα,βCγAΔβ,γ)·Δα,βγ=(CαAeε)·Δ,αe=Cα=(eεACα)·Δe,α,则称C是群G-A-余环.根据文[4],由G-分次A-余环C=g∈GCα可以得到一个群G-A-余环,C={Cα}α∈π,结构映射Δα,β是映...  (本文共3页) 阅读全文>>