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用不动点原理证明区间套定理

不动点原理在现代数学分析中日益重要,其原理及方法逐渐渗透到数学的各分支。一、巴皇赫不劝点原理 1、压缩映照:设R是距离空间,T是R到自身的一个映射。如果存在数a,0镇a1使 爪丁二,了功落aP(x,y),(一T .y任R)则称T是R上的压缩映照。 2、巴拿赫(Ban。。h)不动原理:在完备距离空间R中压缩映照T必有唯一的不动点,即存在x任R使T,~x. 3、在闭区间〔a.b」中,定义户(x,y)~}x一yl,(x,y任〔a,b〕)则[a,bj是距离空间,而且是完备的。说明如下:对于〔a,b〕中的任意两点x,v,显然有:(,)p(x,y)=卜一y{)o(2)p(x,y)=Ix一y}一}y一州一川夕,x)(3)对于[a,b〕内的任一点Z,爪x.y)~lx一yl一}x一:十z一y}簇}x一:}+‘z一v}一。“·y)山。(z,y)故〔。.b]是一距离空间。 又由于「。,b卫中的派一个基术叙列显然都收敛于[a,目中一点,故〔a,b〕是完...  (本文共3页) 阅读全文>>

《福建中学数学》2016年05期
福建中学数学

例析不动点原理的应用

自从1912年荷兰数学家布劳维证明了不动点原理,引起世界的数学家极大兴趣.它有着广泛而奇妙的应用,在数学中很多问题的求解可以借助不动点原理来解题.而高中阶段并没有给出具体的定义,但这并没有阻止命题者对它的喜爱.近几年不管是高考试题还是自主招生试题,都有一定的考查.通常以不动点原理为载体,与函数、数列、解析几何、不等式等知识综合考查,问题情境新颖,难度较大.本文结合例题谈谈利用不动点原理的简单应用.1函数中不动点的定义定义设函数y=f(x)的定义域为D,若满足0 0 0f(x)=x(x∈D),则称0x为函数y=f(x)的一个不动点.高中生对不动点定义可理解为函数y=f(x)与直线y=x交点0 0(x y,)的横坐标0x,也可理解0x为方程f(x)=x的实数根.在实际应用中也经常从代数与几何的角度分析入手.2函数中不动点的重要性质性质1若0x是函数y=f(x)的不动点,那么0f(x)-x必含有因式0(x-x).性质2若定义域上奇函数...  (本文共3页) 阅读全文>>

《甘肃联合大学学报(自然科学版)》2007年04期
甘肃联合大学学报(自然科学版)

不动点原理在分析中的应用

不动点原理是泛涵分析中最重要的一个原理之一,它依据于著名的巴拿赫(Banach)压缩映射定理[1],如今广泛应用于数学分析的各个方面.本文拟通过几个实例来说明不动点原理的灵活应用.不动点原理[2]给定距离空间(x,ρ)及x→X的映射T,如果存在点x*∈X使Tx*=x*,则称x为映射T的不动点.应用1设函数f(x)满足(1)-∞0,g(b)x1,则由归纳法可证明xnxn,n=1,2,….所以数列{xn}递增且有上界,故limn→+∞xn存在,记其极限值为l,即limn→+∞xn=l.在xn+1=12[xn+f(xn)]中,令n→+∞,利用f(x)的连续得l=12(l+f(l)),即l=f(l).由不动点的惟一性即知l=x,故limn→+∞xn=x.3)若xx1,用同样方法可证{xn}递减且有下界,且limn→+∞xn=x.应用4设f(x)满足(1)-∞a≤f(x)≤b+∞.(2)|f(x)-f(x′)|L|x-x′|,0L1,x,...  (本文共3页) 阅读全文>>

《德州学院学报(自然科学版)》2005年02期
德州学院学报(自然科学版)

不动点原理及其应用

K‘杯z功,劣m一,)一K KZ·尸(xm一:,劣阴一:)三 ·户(Tx,一1 1 Banaeh不动点原理 …二K,. ,了士1n一:)二 夕(JI,艾。) 任取自然数m,n,不妨设mO,有自然数N:使对Vm,nN。, 都成立尸(二。,二”)O,得到矛盾,从 而x厂一x“,惟一性证毕. 推论若二‘是T的不动点,则对任取的点 x。任X及xl一了份。及自然数n,有 一K” 。(x一x‘)二拉派’。(‘1,x。)(2) 此处x,是二。的第n次迭代,即x‘是第n次 德州学院学报(自然科学版) 第21卷 近似. 例l设y一f(动是定义在「a,b〕_L的函数 (不恒为常数),且满足条件:①f(二)在仁a,司内处 处有导数厂(对,且!厂(二){三K,。0,当。少0时厂(.动二 /e(1十了)、,c(‘一l)__ 火—)一花--二二户U 〔~寸‘T咬f计一‘不)“ 且由。1知 ,(、二)一少创)1为富 C十了。 {_/(对一了(y)一三}‘二一...  (本文共4页) 阅读全文>>

《工科数学》1989年04期
工科数学

级数、数列及压缩映象原理

级数理论建立在数列理论的基础上,级数理论又丰富了数列理论的解决方法,而后者内容在高等数学中很少介绍,本文将对级数理论在数列间题上的一种应用进行讨论并介绍一元函数方程的压缩映象原理。、级数与数列」的敛散性关系 由于以下恒等式的成立.a一a;+(a:一a:)+(a:一a:)+…+(a一a一:)=a:+艺(a.,:一a一)所以,就得到如下结论.数列{。.}与级数艺(a.,:一o.)的效散性一致。 级数理论建立在数列理论的基础上,级数理论又丰富了数列理论的解决方法,而后者内容在高等数学中很少介绍,本文将对级数理论在数列间题上的一种应用进行讨论并介绍一元函数方程的压缩映象原理。、级数与数列」的敛散性关系 由于以下恒等式的成立.a一a;+(a:一a:)+(a:一a:)+…+(a一a一:)=a:+艺(a.,:一a一)所以,就得到如下结论.数列{。.}与级数艺(a.,:一o.)的效散性一致。根据此结论,我们可以用级数叉(a。,‘一a.)的敛散性...  (本文共4页) 阅读全文>>

《科技信息(学术研究)》2007年06期
科技信息(学术研究)

不动点原理应再用探讨

~~不动点原理应再用探讨$鲁东大学数学与信息学院@王金诚本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在线性代数方程组,微分方程,积分方程解的存在性和唯一性方面的应用。不动点;;压缩映射原理;;应...  (本文共4页) 阅读全文>>