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有限域上方程的解

文献[1]中研究了Fp上的一元n次方程在Fp中的解的情形.基于有理数域Q上的n次方程在复数域C中皆有n个解,并且作为Q的扩域C上的n次方程在C中皆有n个解.由此产生问题:Fp是否存在Fp的扩域Fq(q=pk)使得Fp上的n次方程在Fq中皆有n个解?进一步是否有Fq使Fq使得次方程在Fq中皆有n个解.本文中方程解的个数重根皆计重数.为对这两个问题进行研究,先引入必要的引理.引理1[2]如果m(x)是Fp上的n次不可约多项式,则m(x)|xpn-x.定理1 F2={0,1}上的2次不可约多项式只有x2+x+1.证明设m(x)是F2上的2次不可约多项式,则m(x)|x22-x.因为x22-x=x(x-1)(x2+x+1),而m(x)=2,首项系数为1,故只有:m(x)=x2+x+1.证毕.定理2 F22={0,1,α,α+1},其中α,α+1为x2+x+1在F22上的根.证明F22是F2的2次扩域,F22=F2(α),α在F2上的2次...  (本文共3页) 阅读全文>>

南京航空航天大学
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有限域上一些对角方程的解数

设Fq为q元有限域,其中q=pf, 为素数,f为正整数.本文主要运用有限域上特征和与指数方程的相关理论,探究了有限域上对角方程(组)在一些特殊条件下解数的具体公式,以及对角方程(组)解数的应用.详细研究工作以及最终结果如下:(1)给出了形如(?)的对角方程在有限域Fq2上解数的直接公式,其中i=1 ai,c ∈Fq2*,(mi,m) = 1,mi | (q +1),mi为奇数或者q+1/mi为偶数;(2)给出了形如(?)的对角方程在有限域Fq2上解数的直接公式,其中i=l c ∈ Fq*, m|(q +1), m为奇数或者q+1/m为偶数;m(3)给出了形如(?)的对角方程在有限域Fq2s上解数的直接公式,其中i=1 ai ∈Fq2s*,c ∈ Fq2s, mi | (q+1);(4)探究了 Fq上对角方程组 (?),在一些特殊条件下的解数公式;(5)通过求解方程组的解数,得出了当q =2m且q8时,Fq上Melas码的覆盖半径...  (本文共55页) 本文目录 | 阅读全文>>

南京航空航天大学
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有限域上一类特殊方程的解数公式

有限域上的多项式是数论所研究的重要内容之一,其理论在密码学、编码理论和其他领域中都有着重要的应用,人们对它的研究也随之广泛,从而带动了人们对有限域上有关方程问题的研究。有限域上的某些类型的方程在更一般的情况下只能得出解数的估计,而要给出其明确的解数公式,就必须限定一些特殊的条件。本文主要对有限域上指数方程a_1x_1~2+…+a_nx_n~2 =bx_1…x_s的解数做了以下几方面的研究:首先,介绍了有限域上指数方程解数的研究历史及发展背景,总结了该方面现有的一些主要研究成果。其次,利用有限域上的指数和理论、组合数学的理论知识以及代数数论的基本知识,结合参考文献中部分文章的研究方法,非常简洁地给出了有限域上的一类特殊指数方程a_1x_1~2+…+a_nx_n~2 =bx_1…x_s在s n条件下的具体解数公式。最后,讨论了s n时的三种特殊情况,应用二次特征及指数和理论,分别给出其具体解数公式。本文结果丰富了Ioulia B...  (本文共35页) 本文目录 | 阅读全文>>

宁波大学
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有限域上一类方程的解数

有限域是数论中基础而重要的内容之一,特别是有限域上的方程.当下,越来越多的学者对有限域上的方程进行深入研究,特别是对方程在有限域中解数问题的研究.目前,我们可以得到有限域上某些方程的解数,但大部分情况下,我们很难得到方程解数的准确值,而只能得到解数的估计值(除非附加某些特定的条件).本文主要解决的是某一类方程在有限域中的解数问题,并在某些限定的条件下给出该类方程的解数公式.本文的第一部分为绪论部分,第二部分主要介绍了本文所涉及的相关基础知识,包括群、环、域、有限域、有效降次、椭圆曲线等.第三部分主要介绍了多项式的零点个数估计以及部分方程的解数公式.第四部分是论文的核心内容,通过多种转换方法(次数矩阵有效降次、组合等方法)研究得到有限域上一类方程的解数公式,第五部分为本文的总结.  (本文共35页) 本文目录 | 阅读全文>>

四川大学
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有限域上几类超曲面的研究

本文研究了有限域F~q上几类超曲面F_q—有理点的个数,并对其中某些超曲面,计算出他们的zeta函数。本文还研究了有限域上方程子域解问题等。设F=F~q是一个q元有限域,q=p~f,f≥1,p是一个奇素数。在第一章中,我们研究了有限域F上几类方程。第一类方程是:这里,d_(ij)0,α_i∈F~*,b∈F,0n_1≤n_2,这是一类阶梯方程。第二类方程是:这里,n为正整数,d_(ij)(1≤i,j≤n)为非负整数,α_1,…,α_n∈F~*且b∈F。我们就称这类方程为三角方程。第三类是更一般的阶梯方程,它是一、二类方程的推广。对这三类方程我们首先通过组合方法研究其解数并得到有理的直接公式,第一类方程改进了孙琦在数学年刊(1997(4))上的一个结果,特别  (本文共80页) 本文目录 | 阅读全文>>

西南交通大学
西南交通大学

高非线性函数的构造及其在序列编码中的应用

最佳非线性函数即Bent函数和完全非线性函数分别是抵抗线性密码攻击和差分密码攻击能力最强的密码函数,故其在密码学中扮演着非常重要的角色。而且,最佳非线性函数在编码理论、序列设计和组合理论等领域中亦有重要的应用。本论文的第一个主要研究内容是Bent函数的构造。基于环上的二次型理论和线性化方程途径,本文首先构造出几类新的二次广义布尔Bent函数。结合布尔Bent函数与广义布尔Bent函数之间的关系并将构造广义布尔Bent函数的方法应用于奇特征域中,本文相继得到新的二次布尔Bent函数和二次p-元Bent函数,其中p是-奇素数。而对于高次Bent函数,本文着重研究了具有最佳代数次数的Dillon型Bent函数和Niho型Bent函数。通过对有限域中某些部分指数和的讨论,本文成功刻画出几类新的Dillon型布尔Bent函数和Dillon型p-元Bent函数,并推广了部分已知结果。将研究Dillon型Bent函数的方法运用在Niho型函数...  (本文共172页) 本文目录 | 阅读全文>>