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关于数值求解常微分方程的二阶导数方法的最高可达阶及其Stiff稳定性

荟1引言众所周知,Dahlquist〔,,证明了,如果不考虑稳定性的话,那么线性多步方法.K艺公一Oa‘y,十.二h艺刀‘y孟+‘的最高可达阶为ZK及零稳定的线性多步法其阶数不超过K+2,而A稳定的线性多步法其阶数不超过2(见【2〕).由于解stiff方程的需要,Gear〔勺提出了sti“稳定性,并构造了一类K步K阶(K(6)stiff稳定的线性多步方法.y。+。=艺a‘y.+.+h刀*y二+。 f.oEnright〔‘]引进T二阶导数方法,y。十。二习a‘y,+‘+h习刀‘y二十,+hZ艺下‘yg+‘并对K《7构造了一类K步K+2阶stiff稳定的二阶导数方法. K y·‘,=y·+丙属刀‘y·+‘+“,v:夕:+:之后.Cash等在增大稳定域及提高精确度方面做了有益的工作(见【5〕、【6〕).又根据Wanner[了,的结果可知A稳定二阶导数方法的最高可达阶为4,人们容易提出这样的问题,零稳定的二阶导数方法的最高可达阶是多少?...  (本文共10页) 阅读全文>>

《数理化解题研究》2019年01期
数理化解题研究

一种新思路下的导数题妙解

例1已知f(x)=x-1-lnx,g(x)=ex-ex.若在[1,+∞)上恒有g(x)≥λf(x)成立,试求λ的取值范围.这里先给出此题的常规解法.解在[1,+∞)上f'(x)=1-1x≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=0,当且仅当x=1时取等号.λ≤e时,g (x)-λf (x)=e (ex-1-x-λe(x-1-lnx)]≥e[ex-1-x-(x-1-lnx)].设h(x)=ex-1-x-(x-1-lnx),则h'(x)=ex-1-2+1x,h″(x)=ex-1-1x2.显然在[1,+∞)上h″(x)≥h″(1)=0,故在[1,+∞)上h'(x)单调递增,所以h'(x)≥h'(1)=0,故在[1,+∞)上h(x)单调递增,故h(x)≥h(1)=0,所以有g(x)-λf(x)=eh(x)≥0,即g(x)≥λf(x)在[1,+∞)上恒成立.λ e时,g (x)-λf (x)=e[ex-1-x-λe...  (本文共2页) 阅读全文>>

《高中数学教与学》2016年24期
高中数学教与学

例谈二阶导数几何意义的应用

函数f(x)在x=a处的导数f'(a),其几何意义为f(x)的图象在该点处切线的斜率,通常用来描述函数上升或者下降趋势,是高中数学研究的重要内容.而函数f(x)的二阶导数f″(x)在课程标准教学要求中并未出现,但是如果能够了解函数二阶导数的几何意义,在数学解题中恰当地加以运用,往往可以起到事半功倍的作用.二阶导数即导数的导数,体现了导数的变化趋势,从几何意义上体现了函数上升或下降的速度.例如,图1为指数函数f(x)=ex的图象,如图可见函数单调递增,从而导数f'(x)=ex0,而这种上升趋势随着x的增大,也在增大,体现为二阶导数f″(x)=ex0.图2为对数函数f(x)=ln x的图象,上升趋势随着x的增大,反而在减小,体现为二阶导数f″(x)=-1x2g″(x)在[0,+∞)恒成立.f″(x)=-14(1+x)-32,g″(x)=-2a,-14(1+x)-32≥-2a在[0,+∞)恒成立,(即14(1+x)-)32max≤2a...  (本文共3页) 阅读全文>>

《九江师专学报》1997年06期
九江师专学报

一类二阶导数方数及其收缩性

1引言为了求解在许多领域有广泛应用的stiffred题,ti.D。上。…。t1963年引入了著名的A一稳定性慨念。然而A一稳定性严格限制了方法的精度阶,因而人们又提出了A(a)一稳定性概念并致力于构造A(a)一稳定的方法类c依据这一想法,本文构造了一类二阶导教方法,此类方法不仅具有较高的精度,而且比经典的同类方法有更强的收缩性,因而适用干求解Shn问题。2模型问题与方法设W是N维向量空间川】·I是其中范数,厂【0,T*矿一N是一充分光滑映射。考虑初值问题恒设问题()一()在区间【(),TJ有唯一充分光滑解y小考虑求解问题(l)-(2)的二阶导教方法其中h是积计步长,人是问题(!)-(2)的真解。氏北9近似,In二*n,人).诸系数均为实数c定义1称方法(3)在点hEC是收缩的,如果以方法(3)求解问题y’一勺,所得的解序列入,y。+I,…,y,;+k满足11Yn+;11。411y,;h;。,(‘)此处八一h;,义;+l,…,儿十...  (本文共3页) 阅读全文>>

《军事医学科学院院刊》1988年05期
军事医学科学院院刊

二阶导数光谱法测定苯乙托品片的含量

苯乙托品,又名新托品,其化学名为1,1-二苯基一2一(3一托品基卜乙烷盐酸盐,为我所60年代初合成的药物,近年来经临床试用证明,对巴金森氏病具有较好的疗效。临床用的片剂,每片重50mg,含主药Zmg。用双波长为光光度法,虽可不经除去辅料而直接测其含量,但测定灵敏度较低(为250~300召g/ml)。 本文应用RC微分电路(古川正道等:不凡世老1980,608)所产生的二阶导数光谱,不仅排除了辅料对测定的干扰,而且提高了测定灵敏度(200“g/ml),方法亦能用于片子的含量均匀度分析。介及刃卜二Z可口」进乙 药品、试剂和仪器 苯乙托品:本所合成,符合质量暂定标准。 辅料:淀粉、糖粉、糊精和硬脂酸镁,均系药用,并以60:30:10:0.2(W/W)混合均匀,备用。 苯乙托品片:每片含苯乙托品Zmg,辅料48mg,共计50mg,由本所制剂室提供。 模拟片粉的配制:精密称定苯乙托品干燥品2士0.2mg于小烧杯内,加入辅料50士Zmg,加...  (本文共4页) 阅读全文>>

《数学通报》1984年01期
数学通报

关于二阶导数的教学

1目的性,所以我想f,’·(幼关系到曲线的弯曲状况”从直观上是能理解的。 现行的教学大纲,二阶导数是安排在数学第三册 里讲授的。但在那里,只说明它和曲线凹凸性的关、_系,却没有说明二阶导数本身的意义。即学生即使懂’局得f“(劝0和f“(劝=o的意义,他们仍然不知道 f#(劝本身的意义。因此,本文谁备说明二阶导数的 意义,并例举其应用。例,由于f伽)=粤二:时,f‘(。)一。,fl’(o)- 汤得抛物”;夕=合/2在原点的曲率为‘。但这方法不能用来计算原点以外的点的曲率。 例2试求半径为犷的圆护十(y一日“=,公的曲率。夕Zf/‘(二)的几何意义解原方程得夕二,一侧万二下二·考虑函数y=f(劝,当厂(的=。时,f“(习的意 ,,尸y=—(犷2一牛2)旦Zfl,(“)=linl AX诵O 二1主丁n 八工神Of’(a十△劝,厂(a) △万因为(犷)劣=0=0f’(。+A劝 八万“=!‘,·,劣。。!一令若设厂(a+△对二‘g△口则t...  (本文共3页) 阅读全文>>