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一类Pell方程最小解的计算公式

文[1]给出Pell方程x2-Dy2=1(1)(D为非平方的正整数)当D满足特定条件时的16类最小解计算公式,其主要依据是如下引理:引理1[2] 若方程(1)的一组解(x0,y0)满足x0y202-1则(x0,y0)为(1)的最小解.文[1]指出:寻求比引理更强的判别法,是很有价值的工作.笔者受文[1]启发,找到了D满足另一类特定条件时的方程(1)的最小解计算公式,有趣的是在这一类条件下,最小解不满足引理1所给条件.本文的结果是基于如下引理:引理2[3](P.141) 设(x0,y0)为方程x2-Dy2=-1(2)(D为非平方的正整数)的最小解,则方程(1)的最小解为(2x20+1,2x0y0).引理3 设(x ,y )为方程(2)的最小解,(x0,y0)为方程(2)的一组解,且方程中的D不可表为k2+1(其中k为正整数).1° 若y0为质数,则y =y0;2° 若y0为两个质数p1与p2之积,则y =p1或y =p2或y =y...  (本文共3页) 阅读全文>>

《西安文理学院学报(自然科学版)》2012年03期
西安文理学院学报(自然科学版)

几种特殊情形下Pell方程x~2-Dy~2=1的最小解计算公式

对于Pell方程x2-Dy2=1(D0,且不是完全平方数)(*)的解的情况讨论,实际上归结为求其最小(正整数)解,但求其最小解是件十分麻烦的事,主要方法就是实验法或连分数法,但不管是哪种方法都会遇到冗长的计算,且只能针对具体的D求解.文[1]对(*)中适合某些条件的D,给出了求最小解的简便方法;文[2]对20类特殊的D给出了这类方程的计算公式;文[3]找到了D满足另一类特殊条件时方程的最小解计算公式;文[4]给出了D的不同取值时的若干定理;文[5]给出了D=(mn)2±4n(m,n∈Z+)时的最小解计算公式.本文结合三个引理对(*)中D的12种特殊情况,给出了求最小(正整数)解的计算公式.1预备知识引理1[6]设a1,(a,b)∈N2,ab不是完全平方数,如果ax2-by2=1有解(x,y)∈N2,设x1槡a+y1槡b是方程ax2-by2=1的基本解,x0+y0是方程x2-aby2=1的基本解,则x0+y0=(x1槡a+y1槡b...  (本文共4页) 阅读全文>>

西北大学
西北大学

一类Pell方程的两个相关问题

Pell方程是最古老的数论方程之一,作为二次不定方程的经典代表,Pell方程一直以来都受到数论工作者的高度关注,尤其关于x~2-Dy~2=±1的研究更是令许多数论工作者着迷,并且取得了相当丰富的成果.这些成果对于解决某些不定方程的解的存在性问题是很有帮助的.然而,求解x~2-Dy~2=±1归结为求其最小解,这件事本身却非常困难,无论用试验法或连分数法,都往往遇到冗长的计算,且只能针对具体的D值求解.因此,寻找计算这类Pell方程的最小解的简洁方法以及探求Pell方程的应用价值是数论研究中的重要课题.本文的主要工作:1利用初等方法研究了Pell方程x~2-Dy~2=1和x~2-D_1y~2=1(其中D=d~2D_1)的最小解之间的关系,具体讨论了d=2,3,5时的情况.2运用Pell方程的一些结果讨论了两类三次不定方程的解的存在性问题,具体给出了几个不定方程无正整数解的充分条件.  (本文共31页) 本文目录 | 阅读全文>>

《云南民族大学学报(自然科学版)》2008年02期
云南民族大学学报(自然科学版)

关于Pell方程最小解计算公式的2个定理

文献[1]总结了Pell方程x2-Dy2=1(1)(其中D为非平方正整数)已有的4类D值的最小解公式,在其定理1中给出了D=(mn)2±n或D=(mn)2±2n时方程(1)的最小解公式,又在其定理2~9中给出了16类D值的最小解公式.文献[1]的结论基于如下引理:引理[2]设(x,y)为方程(1)的正解,若xy22,则(x,y)为(1)的最小解.受文献[1]的启发,本文得到如下2个定理.定理中p为大于1的奇数,r,s为正整数.定理1在方程(1)中1°若D1,2=(p2s±1)[(p2r+1)2s±r(p2r+2)](D1表示取上排符号对应的值,D2表示取下排符号对应的值,下同),则方程(1)的最小解为:x0=2(p2r+1)2(p2s±1)1,y0=2p(p2r+1).2°若D1,2=(p2s±1)[(p2r-1)2s±r(p2r-2)],则方程(1)的最小解为:x0=2(p2r-1)2(p2s±1)1,y0=2p(p2r-1)...  (本文共2页) 阅读全文>>

《昭通师范高等专科学校学报》2003年05期
昭通师范高等专科学校学报

几类Pell方程最小解的计算公式

在理论和应用上都十分重要的Pell方程x2-Dy2=1(D为非平方的正整数)(1)经过数百年来的研究,已经获得了丰硕的成果[1—2].方程(1)的求解,可归结为求其最小正整数解(简称最小解).但求(1)的最小解是一件十分麻烦的事,无论用试验法或连分数法,都往往遇到冗长计算,且只能针对具体的D值求解,因此,文[3]把求(1)的最小解列为尚未解决的15个著名的不定方程之一,并提出:“(1)的最小解有什么规律吗?有没有求(1)的最小解的简洁方法?”这是一个很现实的问题.判别(1)的一组解(x0,y0)是否为最小解,一个熟知的结论是[1—2]:引理 若方程(1)的一组解(x0,y0)满足x0y202-1则(x0,y0)为(1)的最小解.由引理容易得出[1—2]:推论1 设m,n为正整数,D=(mn)2+2n,则(1)的最小解为x0=m2n+1,y0=m.JournalofZhaotongTeacher sCollegeOct.2003 ...  (本文共4页) 阅读全文>>

《六盘水师范高等专科学校学报》1999年03期
六盘水师范高等专科学校学报

循环连分数与Pell方程

且:1’,PnZ二d(m 0 d Qn) 2’,1(pn簇〔花〕3’,l镇Qn成2(扭〕4’,1成an镇2〔.妇〕证:‘:·r0二d+e b 在一般初等数论教材里,表无理数为简单连分数已有介绍〔1〕,而根据二次无理数的属性,求其循环连分数的方法确无。在〔1〕、〔幻中,通过较复杂的演算,指出了二次无理数皆可表为循环连分数,但无方法。本文汇论证与求解方法为一体,给出较为简便的方法,表二次无理数为简单循环连分数。 在Pell方程的求解中,解的结构在〔1〕、〔3〕、【4〕中都有定论,但对求基本解,未给方法或方法欠佳。在〔4)P13中指出满足(一1)“Q。二1的最小正整数是n,则pn一1,qn一、是方程分一d尹=l的基本解。其仅给出n的存在性,未给出求n的方法;〔3)P139中给出寻求铲一94尹二1的基本解的方法是“令y=1、2、3、4、……,计算1十94尹,直到得到一个完全平方,即可求出基本解。”而基本解x=2143295,y0=221...  (本文共4页) 阅读全文>>

南京师范大学
南京师范大学

近完全数和Pell方程组

本文进行了如下两部分内容的研究:第一部分:完全数从诞生起,就吸引着众多数学家和业余爱好者.经过几千年的研究,人们已在完全数方面取得了大突破.最近,Pollack和Shevelev把目光投向与完全数相关联的另一方面,他们在J. Number Theory上引进了近完全数的概念.正整数n被称为近完全数,是指除了它的某个真因子外,n能表为它的所有其它真因子的和.鉴于对近完全数的兴趣,本文采用了初等数论的基本方法与理论,对近完全数进行了研究.得到了如下两个结果:完全确定了具有两个不同素因子的近完全数(已发表在Bull. Aust. Math. Soc.上);证明了不存在具有三个不同奇素因子的近完全数(已发表在Colloq. Math.上).第二部分:对Pell方程x2-2y2=1和y2-Dz2=4的公解进行了研究,证明了当D模12不同余-1且D为7或者8个不同奇素数之积时,该方程组仅有平凡解z=0(已发表在南京师大学报(自然科学版)).  (本文共44页) 本文目录 | 阅读全文>>