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光滑哈密顿系统低维不变环面的KAM方法

本文研究光滑情形下有限维近可积哈密顿系统的KAM定理.具体地,考虑哈密顿函数:H = e ++ 1/2(A(w)u,u+ P(x.y,u.,w),其中w ∈ Ω(?)Rn为参数,P(x,y,u,w)∈Cβ(Tn × Rn × R2m× Ω)仅为有限阶光滑的函数.我们证明了:对给定γ0充分小,τ42m2(n-1),存在β*=23(n+4m2 + τ + 1),当ββ*,扰动|P|Cβ充分小时,存在几乎全测的康托子集Ωγ(?)Ω,使得当w∈Ωγ时,哈密顿系统H存在低维不变环面,并且meas(Ω-Ωγ)→0,γ → 0.本文证明方法如下:由于本文考虑的扰动是有限阶光滑,因此我们应用Moser-Jackson-Zehnder引理[2,18],用一列复邻域内的解析函数列逼近光滑扰动函数P.同时参考[2]文中的方法,我们修改了 KAM迭代,在迭代的每一步中考虑一个近似的解析哈密顿函数.在解同调方程中,我们主要采用了 You在[21]文中处理  (本文共34页) 本文目录 | 阅读全文>>

湖南师范大学
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广义Gopalsamy时滞神经网络模型双Hopf分支拟周期不变环面的存在性

目前,时滞神经网络模型已经广泛应用于联想记忆、优化、模式识别等,这样的应用在很大程度上依赖于神经网络模型的动力学行为.从而.关于神经网络的分支问题至今仍然是一个热点研究课题.本文主要应用分支理论及KAM理论来研究广义Gopalsamy神经网络(时滞)模型的双HoPf分支2维拟周期不变环面的存在性.将与过去状态的连接权重b和传输时滞τ作为分支参数,分析了此模型双HoPf分支临界点的存在性,得到产生双Hopf分支的临界条件.并利用时滞微分方程规范型方法及中心流形定理,推导了双Hopf分支直到5阶的规范型.而且在双Hopf分支点附近,我们得到了截断规范系统2维拟周期不变环面存在的参数条件.由于双Hopf为余维2的分支且截断系统并不能与原系统等价,即由截断系统2维不变环面的存在性并不能得到原系统2维不变环面的存在性.因此本文的最后便利用KAM理论对截断系统加上高阶项之后是否仍然有拟周期不变环面存在进行了证明.在利用KAM理论之前,需通过...  (本文共57页) 本文目录 | 阅读全文>>

湖南师范大学
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时滞BAM神经网络模型双Hopf分支的二维拟周期不变环面的持久性

在本文中,我们主要研究时滞BAM神经网络模型双Hopf分支的二维拟周期不变环面的持久性.第一章中,主要介绍了时滞BAM神经网络模型的由来和相关的研究背景,以及实际意义,也简单地介绍了国内外对该神经网络模型的研究现状.同时也说明了本文主要研究的内容和意义.第二章中,主要介绍了含参数时滞微分方程的规范型方法和本文证明会应用到的一个KAM定理.第三章中,在原来的双时滞BAM神经网络系统的基础上进行时滞的平移.将双时滞化为单时滞,再讨论变形后系统的双Hopf分支存在性,然后运用中心流形定理和规范型方法得到双Hopf分支点附近的规范型.最后再将规范型极坐标化,以方便讨论二维环面的存在.第四章中,讨论了系统二维拟周期不变环面的持久性.首先,通过讨论截断振幅平面系统非平凡平衡解的存在条件,以此得到截断系统在双Hopf分支点附近的二维拟周期不变环面的存在性.对于原系统在双Hopf分支点附近是否依然存在二维拟周期不变环面,对此我们应用了 KAM定...  (本文共66页) 本文目录 | 阅读全文>>

南京航空航天大学
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弱非共振条件下系统不变环面的保持性

KAM理论自建立以来,在量子力学、天体力学的等领域都发挥着重要作用,是20世纪最伟大的数学成就之一.本文主要致力于利用KAM理论的相关知识来研究弱非共振条件下一些系统不变环面的保持性问题.文中首先讨论了环面上向量场的给定频率的不变环面的保持性,通过引入并调整外部参数来消除频率的漂移以及利用多项式结构去截断的技巧,证明了在充分小的扰动下,如果频率映射具有非零Brouwer拓扑度,那么那些频率满足Brjuno-Russmann(5)(5)非共振条件的不变环面依然保持.接着利用了相同的方法研究了带拟周期扰动的哈密顿系统给定频率的不变环面的保持性问题,证明了那些频率满足Brjuno-Russmann(5)(5)非共振条件且具有非零拓扑度的不变环面依然保持.最后针对带拟周期扰动的哈密顿系统继续讨论,以往对于该系统的研究主要集中在Russmann(5)(5)非退化条件的情况,文中考虑经典的Kolmogorov非退化条件情形,直接将频率作为独...  (本文共55页) 本文目录 | 阅读全文>>

吉林大学
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广义Hamilton系统低维不变环面的保持性

上世纪50,60年代由三位著名数学家Kolmogorov([32]),Arnold([1]),Moser([45])建立起来的经典KAM理论是Hamilton系统理论发展的里程碑,具有划时代意义,它使太阳系的稳定性得到合理的解释,并使人们能够以一种新的方法来研究Hamilton系统.建立在2n维光滑辛流形上的经典KAM理论断言,在Kolmogorov非退化性条件下,可积系统的大多数非共振不变环面在小的摄动下保持下来,经过几十年的发展,KAM理论已发展成为一套比较完整的理论,首先是定理的光滑性降低了,其次经典的KAM理论被推广到各种退化情形(未摄动系统的Hessian矩阵是退化的),如Bruno([10]),Rüssmann([57,58]),程崇庆、孙义燧([16]),徐君祥、尤建功和仇庆久([70])、Sevryuk([63])等,他们在各种部分非退化性条件下证明了KAM不变环面的保持性,在各种非退化性条件中,最弱的是由Rüs...  (本文共104页) 本文目录 | 阅读全文>>

吉林大学
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辛映射低维不变环面的保持性

本文主要研究带参数的辛映射(symplectic mapping)低维不变环面的保持性,我们证明了对大部分参数,扭转辛映射的椭圆型低维不变环面和双曲型低维不变环面在小的辛扰动下保持下来。上世纪六十年代,著名数学家Kolmogorov,Arnold和Moser建立了KAM理论,该理论的建立具有划时代的意义,它给出了太阳系运行机制的一个合理解释,使得这一困扰人们很长时间的问题得到解决,也使人们对Hamilton系统有了新的认识,在KAM理论建立之前,人们一直认为几乎所有的Hamilton系统的轨道在其能量面上是遍历的,然而由KAM定理,典型的2n维近可积Hamilton系统的大部分轨道只在n维不变环面上遍历,并不在能量面(2n-1维)上遍历,同时,KAM理论的建立为人们研究近可积Hamilton系统和近扭转映射的动力学行为提供了一套系统的方法,并且在许多实际问题中得到了应用。辛映射的KAM理论研究的是近扭转辛映射的动力学行为,所谓近...  (本文共132页) 本文目录 | 阅读全文>>