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关于费马数的研究

费马数问题是国际上一个未解决的著名数论问题。费马(Fermat,P.de)提出一个猜想:形如F_n=2~(2n)+1(称为费马数)的数一定为素数,但他并没有给出一个完全的证明。1732年,著名数学家欧拉(Euler)在研究这个问题时发现F_5=641.6700417,这意味着F_5是一个合数,因此费马猜想是错误的。此后人们对更多的费马数进行了研究,迄今为止,费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个!因此Hardy和Wright给出一个富有启发性的合理的讨论,认为只有有限多个费马数是素数。Selfridge则进一步支持如下的猜想:所有其余的费马数都是合数。本文作者推广了曾登高、梅义元的结论,分别获得了结论(1)、(6)。在乐茂华教授、A.Grytczuk和M.Wojtowicz等人的基础上对于关于费马数的最大素因子的下界这个问题上做了进一步的探索,得到了结论(7)。另外还得到了费马数的另外6个结论,这些结论丰富了费  (本文共32页) 本文目录 | 阅读全文>>

《广东石油化工学院学报》2017年03期
广东石油化工学院学报

关于费马数的最大素因数的推广

由于很久以前法国数学家费马曾研究过形如22m+1的数,其中m是自然数,因此人们称22m+1为第m个费马数,通常记作Fm。1801年,C.F.高斯出版了他用拉丁文写成的划时代的著作《算术研究》,发现了费马数与平面几何的一些问题有着密切的联系[1]。1982年,柯召和孙琦深入研究了数论在数字信号处理中的应用[2]。费马数在现代科学中有着越来越广泛的应用,因此研究费马数的相关问题无疑是一个有意义的问题。设P(Fm)是Fm的最大素因数。自古以来,P(Fm)的下界与数学理论研究及数学应用中的很多重要问题都有着密切的关系。因为22m+1的素因数p都满足[3]:p≡1(mod2m+2)(1)所以不难推得P(Fm)≥2m+2+1。1977年,C.L.Stewart运用超越数论方法进行研究[4],将上述结果进一步改进为P(Fm)C·2mm(2)式(2)中:C是可以计算的实数。2013年,李中和李伟勋[5]进一步证明了当m2时,P(Fm)≥2m+2...  (本文共2页) 阅读全文>>

《中小学数学(初中版)》2013年05期
中小学数学(初中版)

费马数F_5能被641整除的证明方法

在浙教版初中数学实验教材八年级下册第4章的“前言”及第83页的“阅读材料”中都给出了关于费马数的一些有趣史料:形如2矛+1(n为自然数)的数称为费马数,简记为F,.1640年,法国数学家费马(Fermat,1610一1665)根据F。=3,F,=获尸:=17,F3=257,F4=65537都是素数,因而作出猜测:对于所有的自然数n,F,均为素数.直到1732年,瑞士数学家欧拉(E uler,1707一1783)才指出F:=641 x6700417不是素数,从而否定了费马的这个猜测.在教材中并未给出FS能被641整除的证明方法,由于FS的数值很大,难以通过直接计算来验证FS能被641整除,所以有一些数学优等生常问及怎样证明凡能被641整除?事实上,利用字母代替数的思想,我们可以把因数分解问题转化为因式分解问题来解袂,下面就利用初二学生所熟知的因式分解知识给出FS能被641整除的几种证明方法,供大家参考.证法1设a=27,b=5,则...  (本文共1页) 阅读全文>>

《初中生世界》2017年Z4期
初中生世界

神秘的命题:关于“费马大猜想”的感悟

今天听老师讲了“费马大猜想”的故事.在斯证明后,“费马大猜想”也被验证了.这之前,我就已对费马有所了解,比如“费马据说,费马在那本丢番图那本关于方程的数”,费马曾断言费马数全是素数,但经后人验图书的空白处写下了那句“我确定已找到一个证,得出的第五个数却是合数.而今天,老师又美妙的证明,但是这里空白太小,写不下……”给我们讲了费马的另一个猜想,就是“费马大老师说,费马估计是发现了一个有漏洞的证猜想”:法.我却觉得,也可能有更简单的方法.xn+yn≠zn(.n为大于2的整数)说到这里,我突然觉得数学可以以一“费马大猜想”也叫“费马最后猜想”,虽然诗云:费马猜想一个个被验证,但这个命题还没有被天地云灭,万物萧然;验证,直到1996年.里有千万,亦有乾坤.我们的邻国日本,在上个世纪前半叶曾有壮志亦在,人亦勇进;两个年轻的数学家谷...  (本文共1页) 阅读全文>>

《初中生数学学习》2004年12期
初中生数学学习

“难解难分”的费马数

费马 (Fermart,160 1~ 1665)出生在法国图卢兹的一个皮商家庭 ,童年时代在家接受教育 ,长大后当了一名律师 ,但他却把大量的时间用于数学研究 .被后人誉为“业余数学之王” .他一生取得了累累硕果 ,其中最杰出的贡献是对现代数论的奠基性工作 .1640年 ,费马在给梅森 (Mersenne)的一封信中写道 :“我已发现了形如 2 2 n +1的数永远是质数 ;很久以前我就向分析学家们指出了这个定理是正确的 .”这里所提到的“形如 2 2 n +1(n是自然数 ,下同 )的数”就是后人习惯称作的“费马数” .其中第n个费马数可以表示成Fn =2 2 n +1.那么 ,费马是如何得到上述“定理”的呢 ?(事实上 ,未经证明的命题只能称之为“猜想”)其实很简单 ,费马作了如下验算 :F0 =2 2 0 +1=2 1+1=3 ;F1=2 2 1 +1=2 2 +1=5;F2 =2 2 2 +1=2 4 +1=17;F3=...  (本文共3页) 阅读全文>>

《中学数学》1996年04期
中学数学

费马数

形如八-2‘十工的数(n为非负整数),前五个是F;;二s,F’;。5,厂。=17,F。=257,F。二65537,它们都是素数.子是法国数学家费马猜想F。;全是素数,F。被称之为费马数.后来欧拉发现.FS=641X6700417不是素数...  (本文共1页) 阅读全文>>

《周口师范学院学报》2009年05期
周口师范学院学报

关于广义费马数的一个结论

费马数[1]不但与很多经典数学问题有关,而且在现代科学技术领域中也有广泛的应用,因此,有关它的性质一直是数论中一个引人关注的课题.近年来,人们又提出了广义费马数,即F(b,n)=b2n+1,其中b为偶数,文[2]讨论了F(6,n)、F(10,n)、F(12,n)的因子的规律,本文给出了广义费马数是合数的一个充要条件.引理[3]设p为素数,p F(b,n),则p=1(mod 2n+1).定理当n≥3时,F(b,n)为合数的充要条件是不定方程22nx2+x-2-2n-2b2n=y2(1)有正整数解(x0,y0)且满足2nx0y0.(2)证充分性.若方程(1)有满足式(2)的正整数解(x0,y0),令k1=2nx0-y0,k2=2nx0+y0,其中y0=22nx20+x0-2-2n-2b2n,则(2n+1k1+1)(2n+1k2+1)=[2n+1(2nx0-y0)+1][2n+1(2nx0+y0)+1]=22n+2(22nx20-y2...  (本文共2页) 阅读全文>>