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微分方程中的小波方法

自本世纪30年代以来,在物理、工程、化学、生物、经济等众多领域中产生的大量数学模型可以用带有极限环的平面自治系统来描述,极限环的问题已变得愈来愈重要,并引起了许多理论数学和应用数学工作者的注意。工程中的许多问题常常可归结于常微分方程的求解,由于自动控制理论的众多问题需要用微分方程来描述,这为小波方法的使用提供了可能,小波分析及其应用的日益活跃也引起了建筑工程及抗震设计等方面工程技术人员的关注,传统的各种分析与计算方法在具有其各自优点的同时,难免有其各自的缺点。本文对小波变换及小波理论进行研究的基础上,着重研究小波在微分方程中应用的一些基本问题和基本方法,主要提出并解决了如下的问题:1.提出了微分方程解的小波逼近的理论框架。对一类有紧支撑的正交小波的正则度进行了分析,同时对这类小波及相关尺度函数的正则性指数做出估计,提出了一种新的估计方法,得出了一个优于I.Daubechies的估计。在区间样条小波插值的最佳逼近性的基础上,对其误  (本文共92页) 本文目录 | 阅读全文>>

兰州大学
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梁板结构等非线性问题的小波封闭解法

自然科学和工程技术中的许多非线性问题都可以用非线性微分方程这一基本的数学模型来表征,因而非线性微分方程的求解技术是研究非线性科学过程中不可回避的一个环节。虽然自非线性科学诞生伊始,各种的求解方法,包括解析方法和数值方法就被源源不断的开发出来,但现有方法在处理非线性微分方程,尤其是定量求解强非线性问题时仍然存在着诸多的不足。一个重要的原因就是这些方法无法将方程中非线性项的低阶与高阶信息解耦,从而导致舍去的解的高阶项对低阶近似解的求解产生了很大的影响,即低阶近似解依赖于舍去的高阶项。因而随着非线性效应的增强,解的精度将会显著的下降甚至出现解不收敛等问题。因此如何获得强非线性系统的高精度近似解已成为非线性科学研究中的一个至关重要的课题。小波分析是数学的一个新的分支,在时域与频域空间均具有强大的局部识别能力,目前在许多领域如图像处理,故障诊断及方程的数值求解中已展示出强大的优越性与生命力。具体到微分方程的数值求解领域,基于多分辨分析的小...  (本文共132页) 本文目录 | 阅读全文>>

西安电子科技大学
西安电子科技大学

小波与偏微分方程在图像处理中的应用研究

小波分析是二十世纪九十年代出现的一门新的数学方法,由于它具有时-频局部化特点和多尺度特性,在图像处理领域得到了广泛应用。小波分析已成为新的静态图像压缩标准JPEG2000的核心技术。近年来,图像处理和分析中另一个最新的进展是偏微分方程图像处理理论。本论文主要围绕小波分析与偏微分方程在图像处理中的应用来进行研究。主要做了以下几个方面的工作:1.讨论了小波阈值与尺度空间的关系:一方面,可以用小波阈值建立新的尺度空间;另一方面,可以在尺度空间的基础上推导出新的阈值函数。提出一种基于Besov权的平移不变小波阈值函数。仿真实验的结果表明了新阈值函数的有效性。2.针对Perona-Malik各向异性扩散方程不能保留边缘细节的缺点,从小波和形态学的角度对扩散方程的扩散系数进行修改,分别得到两个新的各向异性扩散方程:基于非线性小波阈值和基于形态学算子的各向异性扩散方程。新的各向异性扩散方程在计算扩散系数时,不仅考虑了图像的梯度,而且考虑了二阶...  (本文共126页) 本文目录 | 阅读全文>>

兰州大学
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高精度小波数值方法及其在结构非线性分析中的应用

小波数值方法是近二十多年来发展起来的一类新兴数值方法。随着其自身的发展,小波数值方法的应用范围越来越广泛。而发展统一求解弱非线性和强非线性问题的小波方法这一重要课题也越来越受到重视。立足于小波封闭解法的基础之上,本文拓展了小波方法在具有非线性、奇异性及微分积分算子共存的复杂力学问题中的应用。另外,通过改进小波逼近方式和提出新的求解思路,本文针对一般非线性初值问题和边值问题分别提出了新的高精度小波算法。本文首先介绍了紧支正交的Coiflet小波函数基及其具有拟插值特性的小波逼近公式,它们是小波封闭解法的理论基础。接着介绍了构造有限区间上平方可积函数Coiflet小波逼近公式的边界延拓技术,它是小波数值方法的应用基础。数值研究表明消失矩数目为6的Coiflet是现有小波方法较好的基函数选择。在这些基础之上,本文通过将非线性项中的导数定义为新函数,拓展了现有小波方法在一维和二维拟线性微分方程中的应用,以及结合分部积分和函数变换等技术和...  (本文共145页) 本文目录 | 阅读全文>>

中国农业大学
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小波随机有限元方法研究

本研究将小波分析方法和随机有限元方法相结合发展了一种用于分析细沟侵蚀模型随机特性的小波随机有限元方法;在时域积分中采用了“精细积分方法”。该工作主要由以下五部分构成:第一、研究了拟Shannon小波的性质,构造了求解偏微分方程的拟Shannon小波配置法,同时将外推法引入小波配置法,进一步改善了该方法的计算效率和计算精度。在此基础上,根据区间插值小波的概念,构造了拟Shannon区间小波配置法,数值算例表明该方法不但可以消除边界效应,而且可大幅度提高计算精度。第二、在钟万勰院士提出的“精细积分法”的基础上提出了求解非线性结构动力方程的自适应精细积分法。该方法将外推法引入求解结构动力方程的精细时程积分法中,从而使该方法在求解非线性动力方程中可以自适应选取时间步长;需要指出的是,由于考虑了矩阵指数精细算法和外推法算法在时间离散方法上的一致性,在外推过程中,计算工作量基本没有增加;因此,两种方法的结合有效提高了算法的效率和精度。第三、...  (本文共105页) 本文目录 | 阅读全文>>

华中科技大学
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基于小波和偏微分方程的图像处理方法与应用

图像科学是一门集多学科于一体的交叉学科,与相关学科(特别是数学学科)的基础理论在该学科的成功应用密不可分。在图像处理中,无论是图像模型的建立,图像特征的描述,图像处理算子的设计,还是图像优化处理中的泛函极小化,最终都可归结为一个数学理论问题。特别是近年来,以小波分析(Wavelet analysis)和偏微分方程(Partial derivative equation, PDE)为代表的数学工具活跃在图像处理的各个研究领域,“图像科学”正在形成,并逐步为人们所接受。该文旨在以小波分析和偏微分方程为主要工具,对底层图像处理中图像恢复、图像分割、边缘提取等问题展开研究,并探讨它们在图像处理中的联合应用问题。小波分析,作为一种新的数学分析工具,是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合,已被广泛地应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域,并在理论和方法上取得了重大进展。特别是在图像压缩方面,以Shapri...  (本文共180页) 本文目录 | 阅读全文>>