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特殊三角剖分上的多元样条及其应用

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多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计和有限元等领域中均有很广泛的应用。在本文中,我们一方面继续研究某些有很重要应用价值的特殊三角剖分上的多元样条,着重讨论了均匀2-型三角削分上样条空间的性质,同时也考虑了一般三角化四边形剖分和三维空间中四面体剖分的情况。另一方面积极地将多元样条理论方面获得的结果应用到实际工程中,如计算机辅助几何设计和有限元方法。主要工作如下:在第二章中,我们讨论了2-型三角剖分上异度样条空间的性质。考虑当剖分是均匀的情况,这种剖分是一类特殊的贯穿剖分,也称为四方向剖分,因为其结构简单,对称性好,在实际中有很广泛的应用。为了摆脱刻划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式的限制,考虑分别在矩形剖分线和对角剖分线上采用不同的光滑度,从而获得了更多样条空间上的丰富结果。我们主要讨论了应用比较广泛的三次和四次样条空间的情况。借助光滑余因子协调法,我们构造了各个空间的具有局部支集的样条基函数,并利用这些基函数构造  (本文共109页) 本文目录 | 阅读全文>>

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三角剖分上的多元有理样条及其应用

有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广,但由于有理样条空间的复杂性,所以有关它的研究成果不像多项式样条那样完美,有些问题还值得进一步研究。本文一方面继续研究具有很重要应用价值的三角剖分上的多元有理样条方法,着重讨论了平面三角剖分上C~1有理插值样条函数。另一方面积极地将多元有理样条理论方面获得的结果应用到计算机辅助几何设计中去,研究曲面造型等方面的问题。主要工作如下:第二章主要研究了C~1有理样条曲面约束范围插值问题。首先具体描述了C~1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式。非均匀有理B样条(NURBS)在形状定义方面具有强大的功能和潜力,国际标准组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。文献[1~3]中利用广义楔函数方法构造了平面三角剖分上的C~μ有理样条函数,并给出了它的等价混合形式,具有完全局部构造、表达式显示以及保形性好等特点,并且...  (本文共88页) 本文目录 | 阅读全文>>

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均匀2-型三角剖分上的分片5次样条空间

多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有重要的应用.1975年,王仁宏在文[1]中采用函数论与代数几何的方法,建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架,并提出所谓的光滑余因子协调法.从这种基本观点出发,多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问题来研究.多元样条函数空间S_k~μ(△)是一个线性空间.对于各种特定的剖分△,如何找出样条空间S_k~μ(△)的便于应用的基函数组,是多元样条研究中的关键问题之一.与此相关的问题,是如何事先求出样条空间S_k~μ(△)的维数dim S_k~μ(△).在专著[7]和[25]中讨论了1-型和2-型三角剖分上的很多样条空间.包括多元样条空间的维数,基函数组,特别是具有局部支集的样条基函数组等等.均匀的2-型三角剖分是一类特殊的贯穿剖分,也称为四方向剖分,因为其结构简单,对称性好,在实际中有很广泛的应用.本章中讨论的主要就是2-型三角剖分上分片5次样条空...  (本文共39页) 本文目录 | 阅读全文>>

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多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究

1946年,I.J.Schoenberg系统地研究了一元样条函数,并指出一元3次样条函数的力学观点,即弹性细梁在集中载荷作用下小挠度弯曲变形曲线的数学模型,这也是“样条函数”命名的由来。1957年,J.C.Holladay证明了自然3次样条函数插值的最光滑性质,即自然3次样条插值函数使得梁的弯曲势能取极小。因此,样条函数与力学之间有着天然的联系。1977年,J.Duchon从约束优化角度出发,以泛函的观点对一元样条作了多元推广,满足插值条件并令弯曲能取极小,得到二维情形下的所谓薄板样条(Thin-plate spline)。它本质上已不是分片多项式意义下的样条函数,而是一种径向基函数。1975年,王仁宏教授从分析相邻两片多项式之间光滑性与整除性的关系入手,引入“光滑余因子”及‘协调条件”建立了任意剖分上多元样条的基本理论框架,开创了研究多元样条的代数几何方法。30多年来多元样条已取得丰富的研究成果,但在这一框架下,多元样条与力学...  (本文共83页) 本文目录 | 阅读全文>>

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多元样条若干理论与应用研究

函数是数学最基本的研究对象,而连续函数又是其中十分重要的一类。Weierstrass逼近定理保证了闭区间上任意连续函数都可以用多项式来逼近。由于多项式的整体性太强,使得其在实际应用中出现诸多不便,分段光滑多项式一样条函数应运而生。1946年,数学家I. J. Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。近几十年来,针对样条函数的研究越来越广泛与深入,许多现实问题已不能用简单的一元样条函数来刻画、描述,于是开展多元样条函数的研究变得十分必要。1975年,王仁宏先生利用函数论与代数几何的方法开创性地建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,提出了光滑余因子协调法。到目前为止,有关多元样条的理论与应用研究已经取得了丰硕的成果。本文对多元样条的某些理论和应用问题进行研究,主要有带T圈的T网格上样条函数空间维数不稳定性问题,三维四方向四面体剖分上的样条空间的局部支集样条函数,平面封闭曲线的符号距离函数逼近问题,平面数据点的样...  (本文共104页) 本文目录 | 阅读全文>>

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三角样条函数的变差缩减性

计算几何是近些年来兴起的一门通过计算机手段来研究几何问题的学科。计算几何包括计算机辅助几何设计,计算机图形学,科学可视化,计算机视觉等以几何为研究目标的分支。它涉及代数几何,微分几何等经典数学理论和方法。样条函数在计算几何中起着重要作用,它是理论和应用研究中的基本工具。其定义如下:样条函数就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数,在每段或每片上定义的函数是多项式,则称为多项式样条函数;若在每段或每片上定义的函数是非线性的,则称为非线性样条函数。利用多元样条函数对散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题。一元样条函数的插值无论在理论上还是应用中都比较成熟,但多元样条函数的插值的研究却颇为困难。人们在研究多元多项式插值过程中发现,无论是构造插值的适定结点组还是研究插值的适定性,都与多元多项式的零点集合—即代数曲线有着密切的关系。由此启发我们研究多元样条函数的零点集合—分片代数曲线。分片代数曲线是代数几何与计算几何中一种新的重要概念...  (本文共48页) 本文目录 | 阅读全文>>